2018年考研数二第02题解析

题目

下列函数中，在 $x=0$ 处不可导的是 $?$.

$$A.f(x)=|x|\sin |x|$$

$$B.f(x)=|x|\sin \sqrt{|x|}$$

$$C.f(x)=\cos |x|$$

$$D.f(x)=\cos \sqrt{|x|}$$

解析

关于函数在一点处是否可导，有以下几个定理：

• 可导的充要条件

函数在一点处可导的充要条件是该点处的左右导数均存在且相等。

• 可导的必要条件

函数在一点处可导的必要条件是函数在该点处连续。即“可导必连续，连续不一定可导。”

一点处的左右导数均存在且相等可以保证该点处的函数是连续的，但是一点处的函数是连续的，并不能保证该点处的左右导数均存在且相等。

• 判断一点处是否可导的两个特殊方法

1. 函数没有定义的点处一定不可导

函数本身在该点处就不存在，那么其导函数自然也不会在该点处存在。

1. 尖点处一定不可导。

尖点可以理解成“不光滑”的点，由于尖点不光滑，所以尖点两侧的导函数值通常变化较大 (即导函数值不相等), 因此，函数在尖点处不可导。

但是，使用尖点判断是否可导要特别注意尖点是否一定存在。例如，本题中的 $A$ 选项，由于绝对值符号的作用 $y(x)=|x|$ 和 $g(x)=\sin |x|$ 在 $x=0$ 处都存在一个尖点，但是它们的乘积做成的新函数 $r(x)=|x|\sin |x|$ 在 $x=0$ 处是否存在尖点就不一定了，因此，对于 $A$ 选项不能直接用尖点判断其在 $x=0$ 处是否可导。

对于本题而言，可以通过计算各个选项中的函数在 $x=0$ 的左右两侧的导函数值是否存在且相等来判断。

因为不知道选项中的函数在 $x=0$ 这一点的导函数值是否存在，无法套用导数的计算公式，因此，此处计算导数的时候一般通过下面的导数定义公式完成：

$$f^{‘}(x_0)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)–f(x_0)}{x–x_0}.$$

$A$ 项：

已知 $f(x)=|x|\sin |x|$, 则：

$$f^{‘}(0^{-})=\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{f(x)–f(0)}{x–0}\Rightarrow$$

$$\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{-x\sin (-x)–0}{x}\Rightarrow$$

又 $\sin (-x)\sim (-x)$, 所以:

$$\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{x^2}{x}\Rightarrow$$

$$\underset{x\to 0^{-}}{lim}x=0.$$

$$f^{‘}(0^{+})=\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{f(x)–f(0)}{x–0}\Rightarrow$$

$$\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{x\sin x–0}{x–0}\Rightarrow$$

$$\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{x^2}{x}\Rightarrow$$

$$\underset{x\to 0^{+}}{lim}x=0.$$

由于 $0=0$, 所以 $f(x)=|x|\sin |x|$ 在 $x=0$ 处可导。

$B$ 项：

已知 $f(x)=|x|\sin \sqrt{|x|}$, 则：

$$f^{‘}(0^{-})=\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{f(x)–f(0)}{x–0}\Rightarrow$$

$$\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{-x\sin \sqrt{-x}–0}{x–0}\Rightarrow$$

$$\underset{x\to 0^{-}}{lim}–\sin \sqrt{-x}=0.$$

$$f^{‘}(0^{+})=\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{f(x)–f(0)}{x–0}\Rightarrow$$

$$\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{x\sin \sqrt{x}–0}{x–0}\Rightarrow$$

$$\underset{x\to 0^{+}}{lim}\sin \sqrt{x}=0.$$

由于 $0=0$, 所以 $f(x)=|x|\sin \sqrt{|x|}$ 在 $x=0$ 处可导。

$C$ 项：

已知 $f(x)=\cos |x|$, 则：

$$f^{‘}(0^{-})=\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{f(x)–f(0)}{x–0}\Rightarrow$$

$$\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{\cos (-x)–1}{x}\Rightarrow$$

$$\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{-\frac{1}{2}(-x{)}^2}{x}\Rightarrow$$

$$\underset{x\to 0^{-}}{lim}-\frac{1}{2}x=0.$$

$$f^{‘}(0^{+})=\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{f(x)–f(0)}{x–0}\Rightarrow$$

$$\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{\cos x–1}{x}\Rightarrow$$

$$\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{-\frac{1}{2}{x}^2}{x}\Rightarrow$$

$$\underset{x\to 0^{+}}{lim}–\frac{1}{2}x=0.$$

由于 $0=0$, 所以 $f(x)=\cos |x|$ 在 $x=0$ 处可导。

$D$ 项：

已知 $f(x)=\cos \sqrt{|x|}$, 则：

$$f^{‘}(0^{-})=\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\Rightarrow$$

$$\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{\cos \sqrt{-x}–1}{x}\Rightarrow$$

又：

$$1–\cos t\sim \frac{1}{2}{t}^2.$$

所以有：

$$\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{-\frac{1}{2}(-x)}{x}=\frac{1}{2}$$

$$f^{‘}(0^{+})=\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{f(x)–f(0)}{x–0}\Rightarrow$$

$$\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{\cos \sqrt{x}–1}{x–0}=\frac{-\frac{1}{2}x}{x}=-\frac{1}{2}.$$

由于 $\frac{1}{2}\ne –\frac{1}{2}$, 所以，$f(x)=\cos \sqrt{|x|}$ 在 $x=0$ 处不可导。

综上可知，正确选项为 $D$.

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