2019年考研数二第08题解析

题目

设 $A$ 是 $3$ 阶实对称矩阵，$E$ 是 $3$ 阶单位矩阵，若 $A^2+A=2E$, 且 $|A|=4$, 则二次型 $A^{T}AX$ 的规范型为 $?$

解析

本题主要是求出 $A$ 的特征值。

设 $A$ 的特征值为 $\lambda$, 则由 $A^2+A=2E$ 可得：

$${\lambda }^2+\lambda =2\Rightarrow$$

$${\lambda }^2+\lambda –2=0\Rightarrow$$

$$\lambda =\frac{-1\pm \sqrt{1-4(-2)}}{2}=\frac{-1\pm 3}{2}.$$

即 ${\lambda }_1=1;{\lambda }_2=-2$

又因为 $|A|=4$, 则只有 $1\cdot (-2)\cdot (-2)=4$, 即：

$${\lambda }_3=-2.$$

于是，$A$ 的三个特征值的正负分别为 $+,-,-$, 于是，二次型 $A^{T}AX$ 的规范型为：

$$y_1^2–y_2^2–y_3^2.$$

综上可知，正确选项为 $C$.

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