题目
设 $A$ 是 $3$ 阶实对称矩阵，$E$ 是 $3$ 阶单位矩阵，若 $A^{2} + A = 2E$, 且 $|A|=4$, 则二次型 $A^{T}AX$ 的规范型为 $?$
$\textcolor{Orange}{[A]}$ $y_{1}^{2}$ $+$ $y_{2}^{2}$ $+$ $y_{3}^{2}$
$\textcolor{Orange}{[B]}$ $y_{1}^{2}$ $+$ $y_{2}^{2}$ $-$ $y_{3}^{2}$
$\textcolor{Orange}{[C]}$ $y_{1}^{2}$ $-$ $y_{2}^{2}$ $-$ $y_{3}^{2}$
$\textcolor{Orange}{[D]}$ $-$ $y_{1}^{2}$ $-$ $y_{2}^{2}$ $-$ $y_{3}^{2}$
解析
本题主要是求出 $A$ 的特征值。
设 $A$ 的特征值为 $\lambda$, 则由 $A^{2} + A = 2E$ 可得：
$$
\lambda^{2} + \lambda = 2 \Rightarrow
$$
$$
\lambda^{2} + \lambda – 2 = 0 \Rightarrow
$$
$$
\lambda = \frac{- 1 \pm \sqrt{1-4(-2)}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}.
$$
即 $\lambda_{1} = 1; \lambda_{2} = -2$
又因为 $|A|=4$, 则只有 $1 \cdot (-2) \cdot (-2) = 4$, 即：
$$
\lambda_{3} = -2.
$$
于是，$A$ 的三个特征值的正负分别为 $+, -, -$, 于是，二次型 $A^{T}AX$ 的规范型为：
$$
y_{1}^{2} – y_{2}^{2} – y_{3}^{2}.
$$
综上可知，正确选项为 $C$.
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