2019年考研数二第04题解析

题目

已知微分方程 $y^{”} + ay^{‘} + by = ce^{x}$ 的通解为 $y = (C_{1}+C_{2}x)e^{-x} +e^{x}$, 则 $a, b, c$ 依次为 $?$

解析

$y^{”} + ay^{‘} + by = ce^{x}$ 对应的齐次微分方程为 $y^{”} + ay^{‘} + by = 0$, 该齐次微分方程对应的特征方程为：

$$
\lambda ^{2} + a \lambda + b = 0.
$$

由题可知，齐次方程 $y^{”} + ay^{‘} + by = 0$ 的通解为 $Y(x) = (C_{1}+C_{2}x)e^{-x}$, 由该通解的形式进而可知，特征方程 $\lambda ^{2} + a \lambda + b = 0$ 有两个相同的解，且：

$$
\lambda_{1} = \lambda_{2} = -1.
$$

于是可以判断出，特征方程实际上是：

$$
(\lambda + 1)^{2} = 0
$$

展开得：

$$
\lambda^{2} + 2\lambda + 1 = 0
$$

即：

$$
a = 2;
b = 1.
$$

又因为非齐次微分方程 $y^{”} + 2y^{‘} + y = ce^{x}$ 的特解为 $y^{*}(x) = e^{x}$, 所以，将该特解带入 $y^{”} + 2y^{‘} + y = ce^{x}$ 可得：

$$
(e^{x})^{”} + 2(e^{x})^{‘} + e^{x} = ce^{x}
$$

即：

$$
e^{x} + 2e^{x} + e^{x} = ce^{x} \Rightarrow 4e^{x} = ce^{x} \Rightarrow c=4.
$$

综上可知，$a, b, c$ 依次等于 $2, 1, 4$, 故正确答案为：$D$.

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