2019年考研数二第04题解析

题目

已知微分方程 $y^{”}+a{y}^{‘}+by=c{e}^x$ 的通解为 $y=(C_1+C_{2}x)e^{-x}+e^x$, 则 $a,b,c$ 依次为 $?$

解析

$y^{”}+a{y}^{‘}+by=c{e}^x$ 对应的齐次微分方程为 $y^{”}+a{y}^{‘}+by=0$, 该齐次微分方程对应的特征方程为：

$${\lambda }^2+a\lambda +b=0.$$

由题可知，齐次方程 $y^{”}+a{y}^{‘}+by=0$ 的通解为 $Y(x)=(C_1+C_{2}x)e^{-x}$, 由该通解的形式进而可知，特征方程 ${\lambda }^2+a\lambda +b=0$ 有两个相同的解，且：

$${\lambda }_1={\lambda }_2=-1.$$

于是可以判断出，特征方程实际上是：

$$(\lambda +1{)}^2=0$$

展开得：

$${\lambda }^2+2\lambda +1=0$$

即：

$$a=2;b=1.$$

又因为非齐次微分方程 $y^{”}+2y^{‘}+y=c{e}^x$ 的特解为 $y^{\ast }(x)=e^x$, 所以，将该特解带入 $y^{”}+2y^{‘}+y=c{e}^x$ 可得：

$$(e^x{)}^{”}+2(e^x{)}^{‘}+e^x=c{e}^x$$

即：

$$e^x+2e^x+e^x=c{e}^x\Rightarrow 4e^x=c{e}^x\Rightarrow c=4.$$

综上可知，$a,b,c$ 依次等于 $2,1,4$, 故正确答案为：$D$.

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