2019年考研数二第03题解析

题目

下列反常积分发散的是:

A. 0+xexdx.

B. 0+xex2dx.

C. 0+arctanx1+x2dx.

D. 0+x1+x2dx.

解析

A 项:

因为:

(ex)=ex.

所以:

0+xexdx=(1)0+xd(ex)=

接下来可以用分部积分:

[xex|0+0+exdx]=

[xex|0+(ex|0+)]=

xex|0+ex|0+=

(00)(01)=(1)=1.

A 项的式子收敛。

注意:这里需要注意的是 0+=0=0, 也就是说,0 乘以任何数都得 0, 0 乘以(正负)无穷大也是得 0 的。我们知道,在讨论极限的时候说 0 是未定式,也就是不知道这个式子等于多少,还需要其他条件才能确定。但是,那是在变量趋于 0 和变量趋于 的时候,这里要注意,“趋于”和“等于”是有区别的。“趋于”带有不确定性,“等于”是确定性的,在等于的情况下,必有 0+=0=0.

B 项:

B 项和 A 项的式子很像,似乎也可以用分部积分法,但是,用分部积分法的时候要注意,构造出来的式子必须能比较容易找到原函数,如果不能很容易地找到原函数,就不要用分部积分。例如,当我们按照分部积分的思路,令:

0+xex2dx=

120+xd(ex2)=

12[xex2|0+0+ex2dx].

这时就会发现,在对 x 进行积分的情况下,找 0ex2 的原函数是比较困难的。因此,B 项不适合用分部积分。

由于,在对 t 积分的等情况下,找 et 的原函数是比较容易的,因此,我们需要往该形式上凑:

0+xex2=

120+ex2d(x2)=

12[ex2|0+]=12[0(1)]=12.

B 项的式子收敛。

C 项:

解本项主要用到一个凑微分的思想:

f(arctanx)1+x2dx=f(arctanx)d(arctanx)

另外用到的一个公式就是下面这个求导公式:

(arctanx)=11+x2.

于是:

0+arctanx1+x2dx=0+arctanxd(arctanx)=

上式形如:

=122+C.

因此有:

12arctan2x|0+=

12(π2)20=π28.

C 项的式子收敛。

D 项:

因为:

(1+x2)=2x.

所以:

0+x1+x2dx=120+11+x2d(1+x2)=

又已知 1tdt=ln|t|+C1+x2>0, 所以有:

12ln(1+x2)|0+=12(+0)=+2=+.

D 项的式子发散。

综上可知,正确选项为 D.

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