2019年考研数二第13题解析

题目

已知函数 f(x)=x1xsint2tdt,01f(x)dx=?

解析

本题就是计算定积分,主要用到的公式是分部积分公式,如下:

abu(x)v(x)dx=u(x)v(x)|ababv(x)u(x)dx.

如果一个式子中能凑出来求导计算,都可以尝试用一下分部积分,分部积分常常能简化计算。

计算过程如下:

01f(x)dx=

01(x1xsint2tdt)dx=

01(1xsint2tdt)(x22)dx=

(x221xsint2tdt)|0101x22sinx2xdx=

又:

(x221xsint2tdt)|01=1211sint2t0210sint2t=00=0.

所以:

=1201xsinx2=

121201sinx2d(x2)=

14(cosx2)|01=

14cosx2|01=

cos114.

综上可知,正确答案为:cos114.

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