通过矩阵初等变换图理解逆矩阵初等变换的“逆对称”性质

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将从可逆矩阵的性质出发，通过图示的方式为同学们讲清楚由荒原之梦原创的逆矩阵的“逆对称”概念，这一概念的引入可以帮助同学们建立对矩阵的初等变换，以及对逆矩阵、转置矩阵和正交矩阵更加形象和直观的理解.

二、正文

首先，我们来看看逆矩阵的定义：

设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶矩阵，如果存在 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{B}$, 使得式子 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}$ $=$ $\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}$ $=$ $\boldsymbol{E}$ 成立，则称 $\boldsymbol{A}$ 为可逆矩阵或非奇异矩阵，称 $\boldsymbol{B}$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的逆矩阵，记作 $\boldsymbol{A}^{-1}$ $=$ $\boldsymbol{B}$.

由于 $\textcolor{lightgreen}{ \boldsymbol{E} } \textcolor{tan}{ \boldsymbol{E} }$ $=$ $\boldsymbol{E}$, 所以，由上面的定义中的式子 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}$ $=$ $\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}$ $=$ $\boldsymbol{E}$, 我们可得：

$$
\begin{align}
& \textcolor{lightgreen}{ \boldsymbol{A} } \textcolor{tan}{ \boldsymbol{B} } = \textcolor{lightgreen}{ \boldsymbol{E} } \textcolor{tan}{ \boldsymbol{E} } = \boldsymbol{E} \\
& \textcolor{tan}{ \boldsymbol{B} } \textcolor{lightgreen}{ \boldsymbol{A} } = \textcolor{tan}{ \boldsymbol{E} } \textcolor{lightgreen}{ \boldsymbol{E} } = \boldsymbol{E}
\end{align}
$$

接着，根据矩阵乘法运算的“左行右列”性质，以及上面的 $(1)$ 式和 $(2)$ 式，可知：

• 矩阵 $\textcolor{lightgreen}{\boldsymbol{A}}$ “释放”自己记录到的初等行变换到矩阵 $\textcolor{tan}{\boldsymbol{B}}$, 可将矩阵 $\textcolor{tan}{\boldsymbol{B}}$ 变为单位矩阵 $\textcolor{tan}{\boldsymbol{E}}$——$(1)$ 式;
• 矩阵 $\textcolor{lightgreen}{\boldsymbol{A}}$ “释放”自己记录到的初等列变换到矩阵 $\textcolor{tan}{\boldsymbol{B}}$, 可将矩阵 $\textcolor{tan}{\boldsymbol{B}}$ 变为单位矩阵 $\textcolor{tan}{\boldsymbol{E}}$——$(2)$ 式;
• 矩阵 $\textcolor{tan}{\boldsymbol{B}}$ “释放”自己记录到的初等行变换到矩阵 $\textcolor{lightgreen}{\boldsymbol{A}}$, 可将矩阵 $\textcolor{lightgreen}{\boldsymbol{A}}$ 变为单位矩阵 $\textcolor{lightgreen}{\boldsymbol{E}}$——$(2)$ 式;
• 矩阵 $\textcolor{tan}{\boldsymbol{B}}$ “释放”自己记录到的初等列变换到矩阵 $\textcolor{lightgreen}{\boldsymbol{A}}$, 可将矩阵 $\textcolor{lightgreen}{\boldsymbol{A}}$ 变为单位矩阵 $\textcolor{lightgreen}{\boldsymbol{E}}$——$(1)$ 式.

如果我们把上面的描述简化一下，就是：

$$
\begin{aligned}
& \textcolor{lightgreen}{\boldsymbol{A}} \rightarrowtail \textcolor{gray}{\text{行}} \rightarrowtail \textcolor{tan}{\boldsymbol{B}} \rightarrow \boldsymbol{E} \leftarrow \textcolor{lightgreen}{\boldsymbol{A}} \leftarrowtail \textcolor{gray}{\text{行}} \leftarrowtail \textcolor{tan}{\boldsymbol{B}} \\
& \textcolor{lightgreen}{\boldsymbol{A}} \rightarrowtail \textcolor{gray}{\text{列}} \rightarrowtail \textcolor{tan}{\boldsymbol{B}} \rightarrow \boldsymbol{E} \leftarrow \textcolor{lightgreen}{\boldsymbol{A}} \leftarrowtail \textcolor{gray}{\text{列}} \leftarrowtail \textcolor{tan}{\boldsymbol{B}}
\end{aligned}
$$

继续简化就是：

$$
\begin{matrix}
\textcolor{lightgreen}{\boldsymbol{A}} \rightarrowtail \textcolor{gray}{\text{行}} \rightarrowtail \textcolor{tan}{\boldsymbol{B}} & & & & \textcolor{lightgreen}{\boldsymbol{A}} \leftarrowtail \textcolor{gray}{\text{行}} \leftarrowtail \textcolor{tan}{\boldsymbol{B}} \\
& \searrow & & \swarrow & \\
& & \boldsymbol{E} & & \\
& \nearrow & & \nwarrow & \\
\textcolor{lightgreen}{\boldsymbol{A}} \rightarrowtail \textcolor{gray}{\text{列}} \rightarrowtail \textcolor{tan}{\boldsymbol{B}} & & & & \textcolor{lightgreen}{\boldsymbol{A}} \leftarrowtail \textcolor{gray}{\text{列}} \leftarrowtail \textcolor{tan}{\boldsymbol{B}} \\
\end{matrix}
$$

由上面的结论可知，如果我们将单位矩阵看作“原点”或者“白纸”，那么，互为逆矩阵的矩阵 $\textcolor{lightgreen}{\boldsymbol{A}}$ 和矩阵 $\textcolor{tan}{\boldsymbol{B}}$ 所记录的初等行变换或者初等列变换，一定是关于单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 恰好对应相反的——荒原之梦在此，将这种相反的性质称为“逆对称”性质，或者“逆对称”类型的初等变换, 而“逆对称”类型的初等变换就是联结矩阵及其逆矩阵的纽带.

又由于，由单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 出发，通过初等变换得到两个不同的矩阵的过程中，所作的初等变换可以看作一系列离散操作的集合. 因此，如果我们用“圆点”表示这些初等变换的操作，用“实心竖线”表示经由这些初等变换的操作得到的矩阵，用位于“圆点虚线”上面的部分和下面的部分，分别表示初等行（Row）变换操作的集合与初等列（Column）变换操作的集合. 于是，若以矩阵 $\boldsymbol{P}$ 及其逆矩阵 $\boldsymbol{P}^{-1}$ 为例，就可以画出如图 01 所示的矩阵初等变换图：

需要注意的是，为了区分转置矩阵初等变换操作的“对称性”和逆矩阵初等变换操作的“逆对称性”，在图 01 所示的矩阵初等变换图中，白色圆点虚线上半部分的左侧表示初等行（Row）变换，右侧表示初等列（Column）变换；白色圆点虚线下半部分的左侧表示初等列（Column）变换，右侧表示初等行（Row）变换.

同时，在荒原之梦中，所谓矩阵初等变换的“对称性”指的是在如图 01 或者如图 02 所示的矩阵初等变换图中，左右两侧表示初等变换操作集合的圆点与竖线关于单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 左右水平对称；而所谓矩阵初等变换的“逆对称性”指的是在如图 01 或者如图 02 所示的矩阵初等变换图中，左右两侧表示初等变换操作集合的圆点与竖线关于单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 左右斜对称.

接着，为了能够更好的观察互逆矩阵关于单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 的“逆对称”性质，我们在矩阵 $\boldsymbol{P}$ 及其逆矩阵 $\boldsymbol{P}^{-1}$, 以及单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 之间绘制上虚线，并用不同的颜色表示指向不同矩阵的初等变换操作（以单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 为基础，通过一些列初等变换操作产生另一个矩阵的过程就称为从单位矩阵到该矩阵的初等变换的“指向”），则可得到如图 02 所示的升级版互逆矩阵初等变换图：

观察上面的图 02 可知，在该初等变换图中，矩阵 $\boldsymbol{P}$ 和矩阵 $\boldsymbol{P}^{-1}$ 所记录的以单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 为基准的初等变换操作，不单单关于单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 逆对称，而且，矩阵 $\boldsymbol{P}$ 和矩阵 $\boldsymbol{P}^{-1}$ 位于白色的“圆点虚线”上方的部分（即初等变换）是对应相同的（只不过是一个作用于行，一个作用于列），矩阵 $\boldsymbol{P}$ 和矩阵 $\boldsymbol{P}^{-1}$ 位于白色的“圆点虚线”下方的部分也是对应相同的，所以，根据《转置矩阵及对称初等变换》这篇文章可知，图 02 中所示的矩阵 $\boldsymbol{P}$ 和矩阵 $\boldsymbol{P}^{-1}$ 实际上是一个正交矩阵，或者说，矩阵 $\boldsymbol{P}^{-1}$ 实际上是矩阵 $\boldsymbol{P}$ 的转置矩阵 $\boldsymbol{P}^{\top}$, 如图 03 所示：

类似的，只要在本文所定义的初等初等变换图中，以单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 为分界点，将单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 左侧矩阵的矩阵初等变换图翻折到单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 右侧矩阵的矩阵初等变换图上，并且两个矩阵对应的矩阵初等变换图完全重合（即转置矩阵对称性所要求的“左右水平对称”），那么，这样的矩阵可能不互为正交矩阵，但一定互为转置矩阵，如图 04 所示：

下面回到对逆矩阵的讨论.

当然，关于单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 逆对称的矩阵有无数多对，例如，对于矩阵 $\boldsymbol{K}$ 及其逆矩阵 $\boldsymbol{K}^{-1}$, 我们也可以绘制出他们之间只表现出“逆对称”性质的初等变换图，如图 05 所示：

当然，对于不存在互逆关系的矩阵 $\boldsymbol{P}$ 和矩阵 $\boldsymbol{Q}$, 我们也能够以单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 为基准，绘制出其初等变换图，如图 06 所示：

这里需要补充的是，一个矩阵是否可逆，只由最终得到的矩阵决定，而与中间的初等变换过程以及这些中间初等变换过程所产生的矩阵无关.

因此，如图 07 所示，对于上面图 02 中的矩阵 $\boldsymbol{P}$ 及其逆矩阵 $\boldsymbol{P}^{-1}$, 如果得到矩阵 $\boldsymbol{P}$ 的过程是先由单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 得到矩阵 $\boldsymbol{w}_{1}$, 再得到矩阵 $\boldsymbol{w}_{2}$, 最终得到矩阵 $\boldsymbol{P}$; 得到矩阵 $\boldsymbol{P}^{-1}$ 的过程是先由单位矩阵 $\boldsymbol{E}$ 得到矩阵 $\boldsymbol{m}_{1}$, 再得到矩阵 $\boldsymbol{m}_{2}$, 最终得到矩阵 $\boldsymbol{P}^{-1}$, 则矩阵 $\boldsymbol{w}_{1}$, $\boldsymbol{w}_{2}$, $\boldsymbol{m}_{1}$, $\boldsymbol{m}_{2}$ 之间并不需要具有任何的互逆关系：

但是，需要注意的是，由于矩阵的初等行变换的运算结果只能被接下来的初等行变换“继承”，矩阵的初等列变换的运算结果也只能被接下来的初等列变换“继承”，所以，在本文所定义的矩阵初等变换图（如图 01 所示）中，对于包含中间过程的互逆矩阵初等变换图，位于白色圆点虚线上方的表示初等变换的圆点不能与位于白色圆点虚线下方的表示初等变换的圆点用线连接，否则就表示矩阵的初等行变换可以作用于接下来的初等列变换，或者表示矩阵的初等列变换可以作用于接下来的初等行变换了. 因此，图 08 中所示的红色虚线是不可以存在的：

此外，如图 07 所示，一个初等行（列）变换可能受上一个初等行（列）变换的影响，也可能受上多个初等行（列）变换的影响；一个初等行（列）变换也可能只影响下一个或者影响下多个初等行（列）变换.

三、总结

在本文中，「荒原之梦考研数学」通过建立矩阵初等变换图，统一了逆矩阵、转置矩阵和正交矩阵之间的初等变换关系，为更加形象化的理解矩阵的初等变换提供了一个有效的工具.

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