高等数学中常见的2+5种”真未定式”和1+1种”假未定式”的解题思路图

一、前言

在高等数学中，极限问题是一类非常重要的问题。而极限类问题又常常表现为一些 未 定 式 的形式。

但是，什么样的式子是“ 真 未 定 式 ”？什么样的式子是“ 假 未 定 式 ”？对于这些未定式我们又该使用什么样的方法进行转换呢？

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过解题思路简图为同学们做一个详细的讲解。

二、正文

解题结构图

2+5 种 真 未 定 式

首先，所有的未定式都要转换为以下 $2$ 种 核 心 未 定 式 ：

$$\begin{array}{r}\frac{0}{0}\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}\end{array}$$

因为对于上面这 $2$ 种形式的 核 心 未 定 式 ，可以使用等价无穷小、等价无穷大、泰勒公式或者洛必达运算等多种方式实现极限的求解或者极限存在与否的判断。

于是，以下 $5$ 种 一 般 未 定 式 的解题思路就是往以上 $2$ 种 核 心 未 定 式 的形式上转换：

$$\begin{array}{rl}& ▸0\cdot \mathrm{\infty }⇝\text{恒等变形}⇝\{\begin{array}{l}\frac{0}{\frac{1}{0}}\\ \\ \frac{\mathrm{\infty }}{\frac{1}{\mathrm{\infty }}}\end{array}⇝\{\begin{array}{l}\frac{0}{0}\\ \frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}\end{array}\\ \\ \\ & ▸\mathrm{\infty }–\mathrm{\infty }⇝\text{ 通分 }⇝\frac{(\mathrm{\infty }–\mathrm{\infty })(\mathrm{\infty }+\mathrm{\infty })}{\mathrm{\infty }+\mathrm{\infty }}⇝\{\begin{array}{l}\frac{0}{0}\\ \frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}\end{array}\\ \\ \\ & ▸{\mathrm{\infty }}^0⇝{\mathrm{e}}^{0\cdot \ln \mathrm{\infty }}⇝\{\begin{array}{l}{\mathrm{e}}^{0\cdot \mathrm{\infty }}\\ \\ {\mathrm{e}}^{\frac{0}{\frac{1}{\mathrm{\infty }}}}\\ \\ {\mathrm{e}}^{\frac{\mathrm{\infty }}{\frac{1}{0}}}\end{array}⇝\{\begin{array}{l}\frac{0}{0}\\ \frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}\end{array}\\ \\ \\ & ▸0^0⇝{\mathrm{e}}^{0\cdot \ln \mathrm{\infty }}⇝\{\begin{array}{l}{\mathrm{e}}^{0\cdot \mathrm{\infty }}\\ \\ {\mathrm{e}}^{\frac{0}{\frac{1}{\mathrm{\infty }}}}\\ \\ {\mathrm{e}}^{\frac{\mathrm{\infty }}{\frac{1}{0}}}\end{array}⇝\{\begin{array}{l}\frac{0}{0}\\ \frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}\end{array}\\ \\ \\ & ▸1^{\mathrm{\infty }}⇝{\mathrm{e}}^{0\cdot \ln \mathrm{\infty }}⇝\{\begin{array}{l}{\mathrm{e}}^{0\cdot \mathrm{\infty }}\\ \\ {\mathrm{e}}^{\frac{0}{\frac{1}{\mathrm{\infty }}}}\\ \\ {\mathrm{e}}^{\frac{\mathrm{\infty }}{\frac{1}{0}}}\end{array}⇝\{\begin{array}{l}\frac{0}{0}\\ \frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}\end{array}\\ \\ \end{array}$$

1+1 种 假 未 定 式

「荒原之梦考研数学」这里要说的 假 未 定 式 就是 $0-0$ 和 $\mathrm{\infty }+\mathrm{\infty }$.

这是因为 $0-0$ 和 $\mathrm{\infty }+\mathrm{\infty }$ 其实都是“定式”而非不定式，因为下面两个式子一定成立：

$$\begin{array}{rl}0-0& =0\\ \mathrm{\infty }+\mathrm{\infty }& =\mathrm{\infty }\end{array}$$

但是，$\frac{0}{0}$ 型 核 心 未 定 式 和 $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$ 型 核 心 未 定 式 又有很多变形式：

$$\begin{array}{rl}\frac{0}{0}⇝& \{\begin{array}{l}\frac{0}{0-0}\\ \\ \frac{0-0}{0}\\ \\ \frac{0-0}{0-0}\end{array}\\ \\ \\ \frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}⇝& \{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }+\mathrm{\infty }}\\ \\ \frac{\mathrm{\infty }+\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}\\ \\ \frac{\mathrm{\infty }+\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }+\mathrm{\infty }}\end{array}\end{array}$$

如果是在上述 核 心 未 定 式 $\frac{0}{0}$ 和 $\frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$ 的变形式中存在 假 未 定 式 $0-0$ 或者 $\mathrm{\infty }+\mathrm{\infty }$, 则要将整个分式看作 真 未 定 式 。

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