对“二阶嵌套分式”的一种快速变形定理

一、前言

在做数学题的时候，掌握一些计算技巧，可以帮助我们加快解题速度。在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学讲解一下形如下面这个“嵌套分式”的快速等价变形计算方法：

$$\frac{a/b}{c/d}$$

二、正文

什么是“嵌套分式”

“嵌套分式”是一个由「荒原之梦考研数学」专门定义的概念，指的是一个分式的分子和分母分别都是分式的式子，即：

$$\frac{\text{分式}}{\text{分式}}$$

如果分子和分母中的分式不再包含其他分式，则就是一个“二阶嵌套分式”（本文只对二阶嵌套分式做讨论，因此下文将其简称为“嵌套分式”），本文前言部分给出的式子 $\frac{a/b}{c/d}$ 就是一个嵌套分式，这个式子还可以表示为：

$$\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}$$

或者：

$$\frac{a}{b}/\frac{c}{d}$$

三个等价的“嵌套分式”

首先，对于式子 $\frac{a/b}{c/d}$, 有：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \frac{a/b}{c/d}=\frac{a}{b}\cdot \frac{d}{c}=\frac{ad}{bc}\end{array}$$

同样，对于式子 $\frac{a/c}{b/d}$, 有：

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \frac{a/c}{b/d}=\frac{a}{c}\cdot \frac{d}{b}=\frac{ad}{bc}\end{array}$$

接着，对于式子 $\frac{d/b}{c/a}$, 有：

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \frac{d/b}{c/a}=\frac{d}{b}\cdot \frac{a}{c}=\frac{ad}{bc}\end{array}$$

观察可知，上面三个式子其实是相等的：

$$(1)=(2)=(3)$$

那么，上面三个式子之间有什么联系呢？需要掌握什么样的规律才能在上面三个式子之间快速地做等价变换呢？

快速变形定理

在这里，「荒原之梦考研数学」给大家提供一个针对“嵌套分式”的快速等价变换方法。

这个方法的第一步就是将“嵌套分式”中表示除法的斜线 “$/$” 写成竖线 “$|$”, 从而使整个分式看上去是被一个“十字”线所分割开来，例如：

$$\frac{a/b}{c/d}⇝\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}$$

接着，与线性代数中矩阵的主对角线和副对角线的定义类似，我们将形如式子 $\begin{array}{cc}\text{a}& \text{b}\\ \text{c}& \text{d}\end{array}$ 中的“$\text{a}”$和“$\text{d}$”称为嵌套分式的“主对角线元素”，将 “$\text{b}$”和“$\text{c}$”称为嵌套分式的“副对角线元素”。

于是，如果我们对调式子 $\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}$ 副对角线上的元素，并保持主对角线上的元素不变，则可以做如下等价变换：

$$\begin{array}{cc}a& \text{b}\\ \text{c}& d\end{array}⇝\begin{array}{cc}a& \text{c}\\ \text{b}& d\end{array}⇝\frac{a/c}{b/d}$$

类似的，如果我们对调式子 $\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}$ 主对角线上的元素，并保持副对角线上的元素不变，则可以做如下等价变换：

$$\begin{array}{cc}\text{a}& b\\ c& \text{d}\end{array}⇝\begin{array}{cc}\text{d}& b\\ c& \text{a}\end{array}⇝\frac{d/b}{c/a}$$

同时，根据前面的计算可知：

$$\frac{a/b}{c/d}=\frac{a/c}{b/d}=\frac{d/b}{c/a}$$

至此，我们就实现了对嵌套分式的快速等价变换。

用途

那么，上面的这个等价变换过程有什么用处呢？

用途之一是，当式子 $\frac{a/b}{c/d}$ 中 $a$ 和 $c$ 是同类变量，$b$ 和 $d$ 是同类变量的时候，可以通过上面的方式快速地将同类变量写到同一个子分式中，例如：

$$\frac{x_1/y_1}{x_2/y_2}⇝\frac{x_1/x_2}{y_1/y_2}$$

当然，使用本文中提出的嵌套分式快速等价变形定理，还可以在必要的时候对式子进行化简处理。

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