“峰式”变限积分法：判断方程实数根（或函数实数解）存在性的另一种方法

一、前言

一般情况下，我们判断方程实数根的存在性或者函数实数解的存在性（也就是函数图像与 $X$ 轴是否存在交点，以及交点的个数）通常使用的方法是求导法，也就是通过求导判断函数的单调性，再利用函数的极值，判断函数图像与 $X$ 轴是否存在交点。

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过原创的“峰式”变限积分法，来判断方程实数根（或函数实数解）的存在性，为同学们在求解该类型题目时提供另一种解题思路。

二、正文

“峰式”变限积分法

在几何意义上，函数 $f(x)$ 的积分就是其函数图像与平面直角坐标系的 $X$ 轴围成的图形的有向面积（在 $X$ 轴上方的图形面积为正值，在 $X$ 轴下方的图形面积为负值）。因此，如果我们要计算函数 $f(x)$ 在区间 $(a,x)$ 上的有向面积 $S$, 则可以借助变限积分实现：

$$S={\int }_a^{x}f(x)\mathrm{d}x$$

接着分析可知，若函数 $f(x)$ 在区间 $(a,x)$ 上与坐标轴 $X$ 存在交点 $\tau$，那么，$f(x)$ 的函数图像与 $X$ 轴围成的有向面积一定存在下面两种情况：

	$(a,\tau )$	$(\tau ,x)$
有向面积	$+$	$-$
有向面积	$-$	$+$
	$(a,\tau )$	$(\tau ,x)$

于是，只要我们能在 $(a,x)$ 去区间上找到一个点 ${\tau }_{\alpha }$, 使得：

$$S_{\alpha }={\int }_a^{{\tau }_{\alpha }}f(x)\mathrm{d}x>0\text{ 或者 }{S}_{\alpha }={\int }_a^{{\tau }_{\alpha }}f(x)\mathrm{d}x<0$$

并在 $(\tau ,x)$ 去区间上找到一个点 ${\tau }_{\beta }$, 使得：

$$S_{\beta }={\int }_{{\tau }_{\beta }}^{x}f(x)\mathrm{d}x<0\text{ 或者 }{S}_{\beta }={\int }_{{\tau }_{\beta }}^{x}f(x)\mathrm{d}x>0$$

就可以确定在区间 $(a,x)$ 上至少存在一个交点 $\tau$, 也就是函数的零点。

特别地，当 $f(x)$ 的函数图像在 $X$ 轴上方和下面的有向面积刚好相互抵消的时候，一定有 $S$ $=$ ${\int }_a^{x}f(x)\mathrm{d}x$ $=$ $0$, 此时，也能够说明函数 $f(x)$ 在区间 $(a,x)$ 上存在至少一个零点。

例如，如图 01 所示，对于函数 $f(x)$ $=$ $\sin x$, 其在 $(0,+\mathrm{\infty })$ 上的变限积分函数为 $F(x)$ $=$ $-\cos x$ $+$ $1$, 且 $F(2\pi )$ $=$ $0$, 所以，在区间 $(0,2\pi )$ 上存在一个函数 $f(x)$ 的零点：

再例如，如图 02 所示，对于函数 $f(x)$ $=$ $-\sin x$, 其在 $(0,+\mathrm{\infty })$ 上的变限积分函数为 $F(x)$ $=$ $\cos x$ $-$ $1$, 且 $F(2\pi )$ $=$ $0$, 所以，在区间 $(0,2\pi )$ 上存在一个函数 $f(x)$ 的零点：

从上面的分析，我们可以发现一下两点：

例题

题目

解析

下面将使用“积分”和“求导”两种方法对本题做出解答，可以看到，在原函数较容易积分且题目不要求判别零点个数信息的情况下，基于“峰式”变限积分法可以更快地实现求解。

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