用完全抽象的矩阵证明矩阵乘法的转置运算律

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将使用完全抽象的矩阵证明下面的定理（矩阵乘法的转置运算律）：

$$
\textcolor{springgreen}{
(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{\top} = \boldsymbol{B}^{\top} \boldsymbol{A}^{\top}
}
$$

二、正文

基础知识

矩阵乘法运算的定义

Note

下面是一些用传统数学语言表达的晦涩的矩阵乘法和矩阵转置运算的定义，如果对这两个运算的概念和性质很熟悉，可以不看“基础知识”部分的内容。

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若 $\boldsymbol{A}$ 是一个 $m \times n$ 阶的矩阵，$\boldsymbol{B}$ 是一个 $n \times p$ 阶的矩阵，则 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}$ 是一个 $m \times p$ 阶的矩阵，且其元素构成为：

$$
\textcolor{yellow}{
(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})_{ij} = \sum_{k=1}^{n} \boldsymbol{A}_{ik} \boldsymbol{B}_{kj}
}
$$

转置运算的定义

转置矩阵的定义是：对于任意矩阵 $\boldsymbol{A}$，其转置 $\boldsymbol{A}^{\top}$ 是交换行和列后的矩阵，即“行变列”，“列变行”：

$$
\textcolor{yellow}{
(\boldsymbol{A}^{\top})_{ij} = \boldsymbol{A}_{ji}
}
$$

证明过程

转换等式的前半部分：$(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{\top}$

根据矩阵转置运算的定义，将矩阵 $[\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}]^{\top}$ 去掉转置符号的运算为：

$$
([\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}]^\top)_{ij} = \textcolor{orange}{ (\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})_{ji} }
$$

Note

在本文中，矩阵 $[\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}]$ 和 $(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})$ 是同一个矩阵。

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接着，根据矩阵乘法的定义，可以将矩阵 $\textcolor{orange}{ (\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})_{ji} }$ 展开为：

$$
\textcolor{orange}{ (\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})_{ji} } = \sum_{k=1}^{n} \boldsymbol{A}_{jk} \boldsymbol{B}_{ki}
$$

于是可知，矩阵 $(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^\top$ 中第 $i$ 行第 $j$ 列的元素为 $\boldsymbol{A}_{jk} \boldsymbol{B}_{ki}$, 于是矩阵 $(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^\top$ 可以表示为：

$$
\textcolor{springgreen}{
([\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}]^\top)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} \boldsymbol{A}_{jk} \boldsymbol{B}_{ki}
} \tag{1}
$$

转换等式的后半部分：$\boldsymbol{B}^{\top} \boldsymbol{A}^{\top}$

首先，根据矩阵转置的运算定律，可知矩阵 $\boldsymbol{B}^{\top} \boldsymbol{A}^{\top}$ 是一个 $p \times m$ 阶的矩阵：

$$
\begin{rcases}
\boldsymbol{A}_{m \times n} \rightarrow \boldsymbol{A}^{\top}_{n \times m} \\ \\
\boldsymbol{B}_{n \times p} \rightarrow \boldsymbol{B}^{\top}_{p \times n}
\end{rcases} \Rightarrow (\boldsymbol{B}^{\top} \boldsymbol{A}^{\top})_{p \times m}
$$

于是，根据矩阵乘法，矩阵 $(\boldsymbol{B}^{\top} \boldsymbol{A}^{\top})_{p \times m}$ 中第 $i$ 行第 $j$ 列的元素可以定义为：

$$
(\boldsymbol{B}^{\top} \boldsymbol{A}^{\top})_{ij} = \sum_{k=1}^{n} \textcolor{orangered}{ (\boldsymbol{B}^{\top})_{ik} } \textcolor{pink}{ (\boldsymbol{A}^{\top})_{kj} } \tag{2}
$$

又根据矩阵的转置运算律可知：

$$
\begin{aligned}
\textcolor{pink}{ (\boldsymbol{A}^{\top})_{kj} = \boldsymbol{A}_{jk} } \\
\textcolor{orangered}{ (\boldsymbol{B}^{\top})_{ik} = \boldsymbol{B}_{ki} }
\end{aligned}
$$

于是，$(2)$ 式可变为：

$$
\textcolor{springgreen}{
(\boldsymbol{B}^{\top} \boldsymbol{A}^{\top})_{ij} = \sum_{k=1}^{n} \boldsymbol{B}_{ki} \boldsymbol{A}_{jk} \tag{3}
}
$$

于是，由 $\textcolor{springgreen}{(1)}$ 式可得：

$$
\begin{aligned}
([\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}]^\top)_{ij} & = \sum_{k=1}^{n} \boldsymbol{A}_{jk} \boldsymbol{B}_{ki} \\ \\
& = \textcolor{orange}{ \boldsymbol{A}_{j1} \boldsymbol{B}_{1i} + \boldsymbol{A}_{j2} \boldsymbol{B}_{2i} + \cdots + \boldsymbol{A}_{jn} \boldsymbol{B}_{ni} }
\end{aligned}
$$

由 $\textcolor{springgreen}{(3)}$ 式可得：

$$
\begin{aligned}
(\boldsymbol{B}^{\top} \boldsymbol{A}^{\top})_{ij} & = \sum_{k=1}^{n} \boldsymbol{B}_{ki} \boldsymbol{A}_{jk} \\ \\
& = \boldsymbol{B}_{1i} \boldsymbol{A}_{j1} + \boldsymbol{B}_{2i} \boldsymbol{A}_{j2} + \cdots + \boldsymbol{B}_{ni} \boldsymbol{A}_{jn} \\ \\
& = \textcolor{orange}{ \boldsymbol{A}_{j1} \boldsymbol{B}_{1i} + \boldsymbol{A}_{j2} \boldsymbol{B}_{2i} + \cdots + \boldsymbol{A}_{jn} \boldsymbol{B}_{ni} }
\end{aligned}
$$

Note

由于 $\boldsymbol{A}_{jn}$ 和 $\boldsymbol{B}_{ni}$ 都是数字，所以 $\boldsymbol{B}_{ni} \boldsymbol{A}_{jn}$ $=$ $\boldsymbol{A}_{jn} \boldsymbol{B}_{ni}$.

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于是可知：

$$
\sum_{k=1}^{n} \boldsymbol{A}_{jk} \boldsymbol{B}_{ki} = \sum_{k=1}^{n} \boldsymbol{B}_{ki} \boldsymbol{A}_{jk}
$$

即：

$$
([\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}]^\top)_{ij} = (\boldsymbol{B}^{\top} \boldsymbol{A}^{\top})_{ij}
$$

综上可知，下式得证：

$$
\textcolor{springgreen}{
(\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{\top} = \boldsymbol{B}^{\top} \boldsymbol{A}^{\top}
}
$$

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