极限不怕“无穷小”，但是极限怕“有限小”

一、题目

已知 $lim_{n \to \infty} A_{n}$ $=$ $K$ , 并且 $K \neq 0$ , 则当 $n$ 充分大时，下列结论中一定正确的是哪个？

⟨A⟩» $A_{n}$ $<$ $K + \frac{1}{n}$

⟨B⟩» $A_{n}$ $>$ $K - \frac{1}{n}$

⟨C⟩» $| A_{n} |$ $>$ $\frac{| K |}{2}$

⟨D⟩» $| A_{n} |$ $<$ $\frac{| K |}{2}$

难度评级：

二、解析

“无穷小”和“有限小”

无穷小量不可数，例如，当 $x \to \infty$ 的时候， $\frac{1}{x}$ , $\frac{2}{x}$ , $\frac{9999999}{x}$ 都是无穷小量，我们也可以将无穷小理解为“无限小”；

有限小量可数，例如，无论是 $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{100}$ , 还是 $\frac{1}{9999999}$ , 虽然在某些程度上都是很小的数字，但他们都是可数的，都是一个确定的量。

加上或者减去一个无穷小量不会对原有的数值产生影响：

$1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 1 + 0 = 1$

加上或者减去一个有限小量会对原有的数值产生影响：

$1 + \frac{1}{9999999} = \frac{9999999 + 1}{9999999} = \frac{10000000}{9999999} \neq 1$

有了上面的知识之后，求解本题就很容易了。

⟨A⟩ & ⟨B⟩

首先可以看到，无论是让 $K$ 加上 $\frac{1}{n}$ 还是减去 $\frac{1}{n}$ , 当 $n$ 充分大时，也就是当 $n \to \infty$ 时，都有：

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$

也就是说，当 $n \to \infty$ 时：

$K + \frac{1}{n} = K - \frac{1}{n} = K$

又由题目已知条件 $lim_{n \to \infty} A_{n}$ $=$ $K$ 可知：

$\begin{aligned} A_{n} & = K + \frac{1}{n} ✓ \\ A_{n} & = K - \frac{1}{n} ✓ \end{aligned}$

综上可知，C 选项正确。

我们也可以用反例法求解本题：

当 $n \to \infty$ 时，若令 $A_{n}$ $=$ $K + \frac{2}{n}$ , 则也满足题目 $lim_{n \to \infty} A_{n}$ $=$ $K$ 的条件，但此时：

$\begin{aligned} (A_{n} = K + \frac{2}{n}) > (K + \frac{1}{n}) \\ \Rightarrow & A_{n} > (K + \frac{1}{n}) ✓ \\ ⇏ & A_{n} < (K + \frac{1}{n}) \end{aligned}$

类似的，当 $n \to \infty$ 时，若令 $A_{n}$ $=$ $K - \frac{2}{n}$ , 则也满足题目 $lim_{n \to \infty} A_{n}$ $=$ $K$ 的条件，但此时：

$\begin{aligned} (A_{n} = K - \frac{2}{n}) < (K - \frac{1}{n}) \\ \Rightarrow & A_{n} < (K - \frac{1}{n}) ✓ \\ ⇏ & A_{n} > (K - \frac{1}{n}) \end{aligned}$

⟨C⟩ & ⟨D⟩

虽然我们不知道 $K$ 是一个正数还是一个负数，但是，由题目已知条件 $lim_{n \to \infty} A_{n}$ $=$ $K$ $\neq$ $0$ 可知：

$\begin{matrix} (1) & lim_{n \to \infty} | A_{n} | = | K | > 0 \end{matrix}$

且：

$\frac{| K |}{2} > 0$

由于当 $n$ 足够大时，也就是 $n \to \infty$ 时，上面的 $(1)$ 式一定成立，并且 $\frac{| K |}{2}$ 是一个可数的数值，所以下式一定成立：

$| K | > \frac{| K |}{2}$

即：

$lim_{n \to \infty} | A_{n} | > \frac{| K |}{2}$

我们也可以用极限的定义求解本题：

由题目已知条件 $lim_{n \to \infty} A_{n}$ $=$ $K$ $\neq$ $0$ 可知：

$lim_{n \to \infty} | A_{n} | = | K | > 0$

于是，根据极限的定义可知，若令 $ξ = \frac{| K |}{2}$ , 则一定存在正整数 $N$ , 使得当 $n > N$ 时，有：

$\begin{aligned} (| | A_{n} | - | K | |) < (ξ = \frac{∣ K ∣}{2}) \\ \Rightarrow & | | A_{n} | - | K | | < \frac{| K |}{2} \\ \Rightarrow & \frac{- | K |}{2} < (| A_{n} | - | K |) < \frac{| K |}{2} \\ \Rightarrow & \frac{| K |}{2} < | A_{n} | < \frac{3 | K |}{2} \\ \Rightarrow & | A_{n} | < | K | \\ \Rightarrow & \frac{| K |}{2} < | A_{n} | < | K | ✓ \end{aligned}$

事实上，若 $k$ $\in$ $(0, 1)$ , $ξ$ $\in$ $(0, | K |)$ 按照上述方法，我们可以证明当 $n$ 足够大的时候，下式一定成立：

$| A_{n} | > k | K |$

综上可知，C 选项正确。

极限不怕“无穷小”，但是极限怕“有限小”

一、题目