什么是点估计？点估计的作用是什么？

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过图示的方式，用直观的表述给同学们讲明白概率论与数理统计中的“点估计”这一概念。

二、正文

简单地说，点估计就是用部分样本所表现出来的某种统计特征（如均值、方差或者总体的分布函数 $F(x: \theta)$ 中的未知参数 $\theta$ 等）来推断总体的统计特征。

点估计严格的定义如下：

设 $\textcolor{orange}{ \left( \xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n} \right) }$ 是总体 $\xi$ 的样本，$\theta$ 为总体的未知参数，我们构造统计量 $\textcolor{orange}{ T \left( \xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n} \right) }$. 对于样本观测值 $\textcolor{magenta}{ \left( x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} \right) }$, 若将统计量的观测值 $\textcolor{magenta}{ T \left( x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} \right) }$ 作为未知参数 $\theta$ 的值，则称 $\textcolor{magenta}{ T \left( x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} \right) }$ 为 $\theta$ 的 估 计 值 ，而统计量 $\textcolor{orange}{ T \left( \xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n} \right) }$ 称为 $\theta$ 的 估 计 量 。$\theta$ 的估计量和估计值常记为 $\hat{\theta}$（一般读作 $\theta$ 尖）且统称为 $\theta$ 的估计。这种对未知参数进行的定值估计称为参数的点估计。

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在上面的定义中，比较难理解的部分是“统计量 $T$”:

我们可以将统计量 $T$ 看作是一个函数，这个函数的作用就是计算输入数据的统计特征。例如，计算输入数据的平均值和方差等。至于到底要计算哪一个统计特征，则要看要估计的未知参数 $\theta$ 表示的是什么意思；而对函数 $T$ 的构造，也就是统计特征的具体计算方法，则有矩估计法、最大（极大）似然估计法和最小二乘法等。

因此，式子 $\textcolor{orange}{ T \left( \xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n} \right) }$ 所表达的意思就是计算 $\textcolor{orange}{\xi_{1}}$, $\textcolor{orange}{\xi_{2}}$, $\textcolor{orange}{\cdots}$, $\textcolor{orange}{\xi_{n}}$ 这些样本的统计特征。

但是，$\textcolor{orange}{\xi_{1}}$, $\textcolor{orange}{\xi_{2}}$, $\textcolor{orange}{\cdots}$, $\textcolor{orange}{\xi_{n}}$ 只是“样本”，如果要真正计算出样本的统计特征值，还需要对样本进行“观测”，用观测所得的具体数据 $\textcolor{magenta}{x_{1}}$, $\textcolor{magenta}{x_{2}}$, $\textcolor{magenta}{\cdots}$, $\textcolor{magenta}{x_{n}}$ 来计算具体的统计特征值，记为 $\textcolor{magenta}{ T \left( x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} \right) }$.

因此，如果将“ 估 计 量 $\textcolor{orange}{ T \left( \xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n} \right) }$”理解为函数，则“ 估 计 值 $\textcolor{magenta}{ T \left( x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} \right) }$”就可以理解为函数值。

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