考研数学中的 $\exp$ 是什么意思？

一、前言

在考研数学的题目中，我们有时候可能会见到下面这样的式子，那么，下面式子中的 $\exp$ 是什么意思呢？

$$
\exp (x)
$$

二、正文

“$\exp$” 是“exponential（指数）”的前三个字母，特指由自然数 $\mathrm{e}$ 构成的自然指数函数，即：

$$
\exp(x) = \mathrm{e}^{x}
$$

或者：

$$
\exp \{ \square \} = \mathrm{e}^{\square}
$$

其中，”$\square$” 可以替换成任何式子。

那么，为什么有些式子要用 “$\exp(x)$”, 而不是直接写成 “$\mathrm{e}^{x}$” 呢？

这是因为有些式子的指数部分很复杂，如果写在指数的上标位置，会导致式子的字体很小，不利于辨认，例如下面这个式子，你更喜欢哪种写法呢：

$$
\begin{aligned}
& \textcolor{springgreen}{ f(x, y) = } \\
& \textcolor{springgreen}{ \frac{1}{2 \pi \sigma_{X} \sigma_{Y} \sqrt{1 – \rho^{2} }} \times } \\
& \textcolor{springgreen}{ \exp \left(\frac{-1}{2 \left[1 – \rho^{2} \right]}\left[\left(\frac{x – \mu_{X} }{\sigma_{X}} \right)^{2} – 2 \rho \left(\frac{x – \mu_{X} }{\sigma_{X} }\right)\left(\frac{y – \mu_{Y} }{\sigma_{Y} }\right) + \left(\frac{y – \mu_{Y}}{\sigma_{Y} }\right)^{2} \right]\right) } \\ \\ \\
& \textcolor{magenta}{ f(x, y) = } \\
& \textcolor{magenta}{ \frac{1}{2 \pi \sigma_{X} \sigma_{Y} \sqrt{1 – \rho^{2} }} \mathrm{e}^{ \left(\frac{-1}{2 \left[1 – \rho^{2} \right]}\left[\left(\frac{x – \mu_{X} }{\sigma_{X}} \right)^{2} – 2 \rho \left(\frac{x – \mu_{X} }{\sigma_{X} }\right)\left(\frac{y – \mu_{Y} }{\sigma_{Y} }\right) + \left(\frac{y – \mu_{Y}}{\sigma_{Y} }\right)^{2} \right]\right) } }
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}

\end{aligned}
$$

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