没说邻域内可导不能用洛必达法则

一、题目题目 - 荒原之梦

已知,函数 f(x) 在点 x0 处可导, {αn}{βn} 是两个趋于 0 的正数列, 请求解下面的极限:

I=limnf(x0+αn)f(x0βn)αn+βn

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

简单解法

根据函数在一点处导数的定义式,可知:

f(x0+αn)f(x0)αn=f(x0)f(x0βn)f(x0)βn=f(x0)

于是:

I=limn[f(x0+αn)f(x0)αnαnαn+βn+f(x0βn)f(x0)βnβnαn+βn]=limn[f(x0)αnαn+βn+f(x0)βnαn+βn]=limn[f(x0)αn+βnαn+βn]=limn[f(x0)1]=f(x0)

严格解法

根据“扩展的一点处导数定义式”,可知:

f(x0+αn)f(x0)αn=f(x0)+znf(x0βn)f(x0)βn=f(x0)+kn

其中 znkn 都是 n 时的无穷小量。

于是:

I=limn[f(x0+αn)f(x0)αnαnαn+βn+f(x0βn)f(x0)βnβnαn+βn]=limn[(f(x0)+zn)αnαn+βn+(f(x0)+kn)βnαn+βn]=limn[f(x0)+αnzn+βnknαn+βn]=f(x0)+limnαnzn+βnknαn+βn

又因为,当 n 的时候,有:

0|limnαnzn+βnknαn+βn| |limx(αnznαn+βn+βnknαn+βn)| {αnαn+βn<1βnαn+βn<1 |limn(zn+kn)| |limnzn|+|limnkn|0

即:

|limnαnzn+βnknαn+βn|0+

综上可知:

I=f(x0)


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