连接函数极限与数列极限的桥梁：Heine 定理

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们介绍一下考研数学中很常用的“Heine 定理”。

二、正文

Heine 定理又称为“海涅定理”，“归结定理”或者“归结原则”。该定理在连续的函数和离散的数列之间架起了一座桥梁，使得我们可以将数列的极限问题转换为函数的极限问题进行考虑，或者将函数的极限问题转换为数列的极限问题进行考虑。

Heine 定理的标准定义如下：

$\textcolor{orangered}{\lim_{x \rightarrow + \infty}}$ $\textcolor{orangered}{f(x)}$ $\textcolor{orangered}{=}$ $\textcolor{orangered}{A}$ $\textcolor{yellow}{ \Leftrightarrow }$ 对任意满足 $\lim_{n \rightarrow \infty} x_{n}$ $=$ $+ \infty$ 的数列 $\left\{ x_{n} \right\}$, 都有 $\lim_{n \rightarrow \infty} f \left( x_{n} \right)$ $=$ $A$.

或者：

$\textcolor{magenta}{\lim_{x \rightarrow x_{0}}}$ $\textcolor{magenta}{f(x)}$ $\textcolor{magenta}{=}$ $\textcolor{magenta}{A}$ $\textcolor{yellow}{ \Leftrightarrow }$ 对任意满足 $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $x_{n}$ $=$ $x_{0} \left(x_{n} \neq x_{0} \right)$ 的数列 $\left\{ x_{n} \right\}$, 都有 $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $f \left(x_{n} \right)$ $=$ $A$.

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