连接函数极限与数列极限的桥梁：Heine 定理

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将为同学们介绍一下考研数学中很常用的“Heine 定理”。

二、正文

Heine 定理又称为“海涅定理”，“归结定理”或者“归结原则”。该定理在连续的函数和离散的数列之间架起了一座桥梁，使得我们可以将数列的极限问题转换为函数的极限问题进行考虑，或者将函数的极限问题转换为数列的极限问题进行考虑。

Heine 定理的标准定义如下：

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}$ $f(x)$ $=$ $A$ $\iff$ 对任意满足 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n$ $=$ $+\mathrm{\infty }$ 的数列 $\left\{x_n\right\}$, 都有 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}f\left(x_n\right)$ $=$ $A$.

或者：

$\underset{x\to x_0}{lim}$ $f(x)$ $=$ $A$ $\iff$ 对任意满足 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}$ $x_n$ $=$ $x_0(x_n\ne x_0)$ 的数列 $\left\{x_n\right\}$, 都有 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}$ $f\left(x_n\right)$ $=$ $A$.

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