图解全概率公式

一、前言

全概率公公式的定义如下：

在本文中，「荒原之梦考研数学」就用 图 示 的方式，让同学们能够直观地理解全概率公式。

二、正文

要理解全概率公式，首先要先对全概率公式做转换：

$$\begin{array}{r}P(B)\\ \\ & =\sum _{i=1}^{n}P(A_i)P(B|A_i)\\ \\ & =\sum _{i=1}^{n}P(A_i)\cdot \frac{P(A_{i}B)}{P(A_i)}\\ \\ & =\sum _{i=1}^{n}P(A_{i}B)\\ \\ & =P(A_{1}B)+P(A_{2}B)+\cdots +P(A_{n}B)\end{array}$$

由于事件 $A_1$, $A_2$, $\cdots$, $A_n$ 两两互斥，所以事件 $A_{1}B$, $A_{2}B$, $\cdots$, $A_{n}B$ 也两两互斥。因此，根据互斥事件的可列可加性，可得：

$$\begin{array}{r}P(B)\\ \\ & =P(A_{1}B)+P(A_{2}B)+\cdots +P(A_{n}B)\\ \\ & =P(A_{1}B\cup A_{2}B\cup \cdots \cup A_{n}B)\\ \\ & \iff \mathit{B}\mathbf{=}{\mathit{A}}_{\mathbf{1}}\mathit{B}\mathbf{\cup }{\mathit{A}}_{\mathbf{2}}\mathit{B}\mathbf{\cup }\mathbf{\cdots }\mathbf{\cup }{\mathit{A}}_{\mathit{n}}\mathit{B}\end{array}$$

因此，只要我们能够理解 $\mathit{B}$ $\mathbf{=}$ ${\mathit{A}}_{\mathbf{1}}\mathit{B}$ $\mathbf{\cup }$ ${\mathit{A}}_{\mathbf{2}}\mathit{B}$ $\mathbf{\cup }$ $\mathbf{\cdots }$ $\mathbf{\cup }$ ${\mathit{A}}_{\mathit{n}}\mathit{B}$, 也就能够理解全概率公式了。

首先，我们将事件 $\mathrm{\Omega }$ 或者其他任意一个能够将事件 $B$ 包含在内的事件划分成 $n$ 份（或者更多份，甚至无数份）——

为了表述方便，我们这里将符合上述要求的事件划分成 $9$ 份，并用 $A_{1–9}$ 做标记，即：

接着，用绿色部分表示的事件 $B$, 就会与 $A_{1-9}$ 这九个分块产生交集，而这个交集就是 $A_{1-9}B$——

从下面的图片中可以看到，将 $A_{1-9}B$ 这九个分块拼到一起，其实就是事件 $B$ 本身，因此，式子 $\mathit{B}$ $\mathbf{=}$ ${\mathit{A}}_{\mathbf{1}}\mathit{B}$ $\mathbf{\cup }$ ${\mathit{A}}_{\mathbf{2}}\mathit{B}$ $\mathbf{\cup }$ $\mathbf{\cdots }$ $\mathbf{\cup }$ ${\mathit{A}}_{\mathit{n}}\mathit{B}$ 得证，从而就可以理解全概率公式了：

此外，全概率公式还有下面这样一段的补充说明：

“把 $A_1$, $A_2$, $\cdots$, $A_n$ 换成 $A_1$, $A_2$, $\cdots$, $A_n$, $\cdots$, 或者把 $\sum _{i=1}^n{A}_i$ $=$ $\mathrm{\Omega }$ 换成 $B$ $\subseteq$ $\sum _{i=1}^n{A}_i$ 或者 $B$ $\subseteq$ $\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_i$, 全概率公式仍然成立。”

上面这段补充说明的含义就是，无论事件 $B$ 是属于必然事件 $\mathrm{\Omega }$, 还是属于某个可以完全容纳事件 $B$ 的一般事件 $A$，无论将事件 $\mathrm{\Omega }$ 或者事件 $A$ 划分成有限个部分还是无限个部分，全概率公式都成立。

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