导数等于原函数的“平移”：这样的函数一般都由三角函数构成

一、题目

已知，函数 $f(x)$ 二阶可导，且 $f^{\prime }(x)$ $=$ $f(n-x)$, $f(0)$ $=$ $1$, 则：

$$f(x)=?$$

难度评级：

二、解析

由于函数 $f(x)$ 二阶可导，所以，先对题目所给的式子求二阶导：

$$\begin{array}{rl}& f^{\prime }(x)=f(n-x)\\ \\ \iff & f^{\prime \prime }(x)=–f^{\prime }(n–x)\\ \\ \iff & f^{\prime \prime }(x)+f(x)=0\end{array}$$

上面所得的式子 $f^{\prime \prime }(x)$ $+$ $f(x)$ $=$ $0$ 是一个二阶常系数微分方程，该方程的特征方程与特征根为：

$$\begin{array}{rl}& {\lambda }^2+1=0\\ \\ \iff & {\lambda }^2=–1\\ \\ \iff & \{\begin{array}{l}{\lambda }_1=i\\ {\lambda }_2=-i\end{array}\\ \\ \iff & \{\begin{array}{l}{\lambda }_1=\text{0}+\text{1}\cdot i\\ {\lambda }_2=\text{0}–\text{1}\cdot i\end{array}\end{array}$$

Note

$i^2$ $=$ $-1$;
$(-i{)}^2$ $=$ $(-1{)}^2\cdot i^2$ $=$ $i^2$ $=$ $-1$

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于是，该二阶常系数齐次线性微分方程的通解可以设为：

$$f(x)={\mathrm{e}}^{\text{0}\cdot x}[C_1\cos (\text{1}\cdot x)+C_2\sin (\text{1}\cdot x)]$$

化简，得：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& f(x)=C_1\cos x+C_2\sin x\end{array}$$

求导，得：

$$\begin{array}{}\text{(2)}& f^{\prime }(x)=–C_1\sin x+C_2\cos x\end{array}$$

其中，$C_1$ 和 $C_2$ 为待定系数，接下来我们就需要确定 $C_1$ 和 $C_2$ 的具体取值。

根据题目所给的式子 $f^{\prime }(x)$ $=$ $f(n-x)$, 若令 $x$ $=$ $n-x$, 则：

$$\begin{array}{rl}& f^{\prime }(x)=f(n-x)\\ \\ \iff & f^{\prime }(n-x)=f[n-(n-x)]\\ \\ \iff & f^{\prime }(n-x)=f(x)\end{array}$$

于是，将 $f(0)$ $=$ $1$ 代入上式，可得：

$$f^{\prime }(n)=f(0)=1$$

将 $f(0)$ $=$ $1$ 代入前面的 $(1)$ 式，可得：

$$C_1=1$$

将 $f^{\prime }(n)$ $=$ $1$ 和 $C_1$ $=$ $1$ 代入前面的 $(2)$ 式，可得：

$$\begin{array}{rl}& C_2\cos n–\sin n=1\\ \\ \iff & C_2=\frac{1+\sin n}{\cos n}\end{array}$$

综上可知：

$$\mathit{f}\mathbf{(}\mathit{x}\mathbf{)}\mathbf{=}\mathbf{cos}\mathbf{}\mathit{x}\mathbf{+}\frac{\mathbf{1}\mathbf{+}\mathbf{sin}\mathbf{}\mathit{n}}{\mathbf{cos}\mathbf{}\mathit{n}}\mathbf{\cdot }\mathbf{sin}\mathbf{}\mathit{x}$$

拓展

事实上，随着 $n$ 取值的不同，上面得到的具体的函数 $f(x)$ 也不一样，如果令：

$$f_1=\cos x+\frac{1+\sin 1}{\cos 1}\cdot \sin x$$

$$f_2=\cos x+\frac{1+\sin 2}{\cos 2}\cdot \sin x$$

$$f_3=\cos x+\frac{1+\sin 3}{\cos 3}\cdot \sin x$$

$$f_{999}=\cos x+\frac{1+\sin 999}{\cos 999}\cdot \sin x$$

则对应的函数图像示意图为：

当然，$f(x)$ $=$ $\cos x$ $+$ $\frac{1+\sin n}{\cos n}\cdot \sin x$ 中的 $n$ 也可以等于 $0$, $0.1$ 或者 $-0.1$ 等。

当 $n=0$ 时，有：

$$f(x)=\cos x+\sin x$$

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