明修栈道，暗度陈仓：化简对数函数先凑乘法

一、题目

$I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln (\sin x) d x = ?$

难度评级：

二、解析

我们知道，加法运算一般都要比乘法运算简单，但是，为什么要化简对数函数的时候，需要优先考虑凑出来乘法呢？

这是因为我们有下面这个公式：

$\ln (M \cdot N) = \ln M + \ln N$

正是因为对数有上面这个性质，我们才可以通过“ 明修栈道，暗度陈仓 ”这种表面上的“凑乘法 ”，实际上的“凑加法 ”的方式，实现化简或转化对数函数的操作。

于是，对于原式中 $\ln (\sin x)$ 的单倍角三角函数 $\sin x$ , 我们需要首先通过换元的方式将其转换为二倍角，之后再利用二倍角公式 $\sin 2 α$ $=$ $2 \sin α$ $\times$ $\cos α$ , 凑出来我们需要的乘法，即：

$\begin{aligned} I \\ = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln (\sin x) d x \\ \Rightarrow {\begin{cases} x = 2 t \\ t \in (0, \frac{π}{4}) \\ d x = 2 d t \end{cases} \\ = 2 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \ln (\sin 2 t) d t \\ = 2 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \ln (2 \sin t \cos t) d t \\ = 2 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \ln [(2) \times (\sin t) \times (\cos t)] d t \\ = 2 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \ln (2) d t + 2 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \ln (\sin t) d t + 2 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \ln (\cos t) d t \\ = 2 \cdot \frac{π}{4} \cdot \ln 2 + 2 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \ln (\sin t) d t + 2 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \ln (\cos t) d t \\ \Rightarrow {\begin{cases} u = \frac{π}{2} - t \\ u \in (\frac{π}{2}, \frac{π}{4}) \\ d u = - d t \end{cases} \\ = \frac{π}{2} \ln 2 + 2 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \ln (\sin t) d t + 2 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \ln (\sin u) d u \\ = \frac{π}{2} \ln 2 + 2 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \ln (\sin t) d t - 2 \int_{\frac{π}{2}}^{\frac{π}{4}} \ln (\sin u) d u \\ = \frac{π}{2} \ln 2 + 2 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \ln (\sin t) d t + 2 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \ln (\sin u) d u \\ = \frac{π}{2} \ln 2 + 2 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \ln (\sin t) d t + 2 \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \ln (\sin t) d t \\ = \frac{π}{2} \ln 2 + 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln (\sin t) d t \\ = \frac{π}{2} \ln 2 + 2 I \\ \Rightarrow I = \frac{π}{2} \ln 2 + 2 I \\ \Rightarrow \frac{- π}{2} \ln 2 = I \\ \Rightarrow I = - \frac{π}{2} \ln 2 \end{aligned}$

明修栈道，暗度陈仓：化简对数函数先凑乘法

一、题目

二、解析

高等数学

线性代数

特别专题

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