明修栈道，暗度陈仓：化简对数函数先凑乘法

一、题目

$$
I = \int_{0}^{ \frac{\pi}{2}} \ln ( \sin x ) \mathrm{~d} x = ?
$$

难度评级：

二、解析

我们知道， 加 法 运算一般都要比 乘 法 运算简单，但是，为什么要化简对数函数的时候，需要优先考虑凑出来 乘 法 呢？

这是因为我们有下面这个公式：

$$
\textcolor{yellow}{
\ln(M \cdot N) = \ln M + \ln N
}
$$

正是因为对数有上面这个性质，我们才可以通过“ 明 修 栈 道 ， 暗 度 陈 仓 ”这种表面上的“凑 乘 法 ”，实际上的“凑 加 法 ”的方式，实现化简或转化对数函数的操作。

于是，对于原式中 $\ln (\sin x)$ 的单倍角三角函数 $\sin x$, 我们需要首先通过换元的方式将其转换为二倍角，之后再利用二倍角公式 $\textcolor{orangered}{ \sin 2 \alpha }$ $\textcolor{orangered}{=}$ $\textcolor{orangered}{2 \sin \alpha }$ $\textcolor{orangered}{\times}$ $\textcolor{orangered}{\cos \alpha}$, 凑出来我们需要的乘法，即：

$$
\begin{aligned}
I \\ \\
& = \int_{0}^{ \frac{\pi}{2}} \ln ( \sin x ) \mathrm{~d} x \\ \\
& \Rightarrow \textcolor{gray}{\begin{cases}
& x = 2t \\
& t \in (0, \frac{\pi}{4}) \\
& \mathrm{d} x = 2 \mathrm{d} t
\end{cases}} \\ \\
& = 2 \int_{0}^{ \frac{\pi}{4}} \ln ( \textcolor{orangered}{\sin 2t } ) \mathrm{~d} t \\ \\
& = 2 \int_{0}^{ \frac{\pi}{4}} \ln ( \textcolor{orangered}{ 2 \sin t \cos t }) \mathrm{~d} t \\ \\
& = 2 \int_{0}^{ \frac{\pi}{4}} \ln [ \textcolor{pink}{(2) } \times \textcolor{springgreen}{ (\sin t) } \times \textcolor{orange}{ (\cos t) } ] \mathrm{~d} t \\ \\
& = \textcolor{pink}{ 2 \int_{0}^{ \frac{\pi}{4}} \ln (2) \mathrm{~d} t } + \textcolor{springgreen}{ 2 \int_{0}^{ \frac{\pi}{4}} \ln (\sin t) \mathrm{~d} t } + \textcolor{orange}{ 2 \int_{0}^{ \frac{\pi}{4}} \ln (\cos t) \mathrm{~d} t } \\ \\
& = \textcolor{pink}{ 2 \cdot \frac{\pi}{4} \cdot \ln 2 } + \textcolor{springgreen}{ 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln ( \sin t ) \mathrm{~d} t } + \textcolor{orange}{ 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln(\cos t) \mathrm{~d} t } \\ \\
& \Rightarrow \textcolor{gray}{\begin{cases}
& u = \frac{\pi}{2} – t \\
& u \in (\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{4}) \\
& \mathrm{d} u = – \mathrm{d} t
\end{cases}} \\ \\
& = \frac{\pi}{2} \ln 2 + 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln(\sin t) \mathrm{~d} t + 2 \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin u) \mathrm{~d} u \\ \\
& = \frac{\pi}{2} \ln 2 + 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln(\sin t) \mathrm{~d} t – 2 \int_{\textcolor{springgreen}{ \frac{\pi}{2} }}^{\textcolor{orange}{ \frac{\pi}{4} }} \ln(\sin u) \mathrm{~d} u \\ \\
& = \frac{\pi}{2} \ln 2 + 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \ln(\sin t) \mathrm{~d} t + 2 \int_{\textcolor{orange}{ \frac{\pi}{4} }}^{\textcolor{springgreen}{ \frac{\pi}{2} }} \ln(\sin \textcolor{black}{\colorbox{orange}{ u }}) \mathrm{~d} \textcolor{black}{\colorbox{orange}{ u }} \\ \\
& = \frac{\pi}{2} \ln 2 + \textcolor{yellow}{ 2 \int_{0}^{ \boldsymbol{ \frac{\pi}{4} }} \ln (\sin t) \mathrm{~d} t + 2 \int_{\boldsymbol{ \frac{\pi}{4} }}^{\frac{\pi}{2} } \ln (\sin \textcolor{black}{\colorbox{orange}{ t }}) \mathrm{~d} \textcolor{black}{\colorbox{orange}{ t }} } \\ \\
& = \frac{\pi}{2} \ln 2 + \textcolor{yellow}{ 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln ( \sin t ) \mathrm{~d} t } \\ \\
& = \frac{\pi}{2} \ln 2 + \textcolor{yellow}{ 2I } \\ \\
& \Rightarrow I = \frac{\pi}{2} \ln 2 + 2I \\ \\
& \Rightarrow \frac{- \pi}{2} \ln 2 = I \\ \\
& \Rightarrow \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{ I = -\frac{\pi}{2} \ln 2 }}
\end{aligned}
$$

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