在无穷大条件下，幂指函数的“幂”增减一个常数不会影响最终的结果

一、题目

$$\begin{array}{rl}{I}_1=& \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{\left(\frac{x+2}{x+1}\right)}^{2x+2}=?\\ \\ I_2=& \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{\left(\frac{x+2}{x+1}\right)}^{2x+1}=?\end{array}$$

难度评级：

二、解析

对于式子 $I_1$, 我们有：

$$\begin{array}{r}{I}_1\\ \\ =& \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{\left(\frac{x+2}{x+1}\right)}^{2x+2}\\ \\ =& \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{\left(\frac{x+1+1}{x+1}\right)}^{2x+2}\\ \\ =& \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{\left(1+\frac{1}{x+1}\right)}^{(x+1)\cdot 2}\\ \\ =& {\mathrm{e}}^2\end{array}$$

对于式子 $I_2$, 我们有：

$$\begin{array}{r}{I}_2\\ \\ =& \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{\left(\frac{x+2}{x+1}\right)}^{2x+1}\\ \\ =& \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{x+1})}^{2x+1}\\ \\ =& \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{x+1})}^{2(x+1)–1}\\ \\ \Rightarrow & x+1=t\\ \\ =& \underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{t})}^{2t-1}\\ \\ =& \underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{t})}^{2t}\cdot {(1+\frac{1}{t})}^{-1}\\ \\ =& \underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}{\left[{(1+\frac{1}{t})}^t\right]}^2\cdot {(1+\frac{1}{t})}^{-1}\\ \\ =& \underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}{\left[{(1+\frac{1}{t})}^t\right]}^2\cdot 1^{-1}\\ \\ =& \underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}{\left[{(1+\frac{1}{t})}^t\right]}^2\\ \\ =& {\mathrm{e}}^2\end{array}$$

比较上面的两个式子可知，虽然式子 $I_1$ 的次幂是 $2x+2$, 式子 $I_2$ 的次幂是 $2x+1$, 但是：

$$I_1=I_2={\mathrm{e}}^2$$

于是可知，在无穷大的环境下，次幂中的常数其实不会影响式子的计算结果，所以，在计算式子 $I_2$ 的时候，我们完全可以将其次幂由 $2x+1$ 更改为 $2x+2$, 从而可以按照式子 $I_1$ 的计算方法完成计算，简化计算步骤。

三、总结

通过本文的计算，我们可以知道，当 $x\to \mathrm{\infty }$, 且 $a$ 和 $b$ 是常数的情况下，下式成立：

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{◻}^{x+a}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{◻}^{x+b}$$

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