在无穷大条件下，幂指函数的“幂”增减一个常数不会影响最终的结果

一、题目

$$
\begin{aligned}
I_{1} = & \ \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x+2}{x + 1} \right)^{2x + \textcolor{orangered}{2}} = ? \\ \\
I_{2} = & \ \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x+2}{x+1} \right)^{2x + \textcolor{orangered}{1}} = ?
\end{aligned}
$$

难度评级：

二、解析

对于式子 $I_{1}$, 我们有：

$$
\begin{aligned}
I_{1} \\ \\
= & \ \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x+2}{x+1} \right)^{2x + 2} \\ \\
= & \ \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x + 1 + 1}{x+1} \right)^{2x + 2} \\ \\
= & \ \lim_{x \to \infty} \left( \textcolor{springgreen}{ 1 + \frac{1}{x+1} } \right)^{(\textcolor{springgreen}{x + 1}) \cdot 2} \\ \\
= & \ \textcolor{springgreen}{\mathrm{e}}^{2}
\end{aligned}
$$

对于式子 $I_{2}$, 我们有：

$$
\begin{aligned}
I_{2} \\ \\
= & \ \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x+2}{x+1} \right)^{2x + 1} \\ \\
= & \ \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{x+1} \right)^{2x + 1} \\ \\
= & \ \lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{\textcolor{pink}{ x+1 }} \right)^{2(\textcolor{pink}{ x + 1 }) – 1} \\ \\
\Rightarrow & \ \textcolor{gray}{ x + 1 = t } \\ \\
= & \ \lim_{t \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{t} \right)^{2t-1} \\ \\
= & \ \lim_{t \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{t} \right)^{2t} \cdot \left( 1 + \frac{1}{t} \right)^{-1} \\ \\
= & \ \lim_{t \to \infty} \left[ \left( 1 + \frac{1}{t} \right)^{t} \right]^{2} \cdot \textcolor{yellow}{ \left( 1 + \frac{1}{t} \right)^{-1} } \\ \\
= & \ \lim_{t \to \infty} \left[ \left( 1 + \frac{1}{t} \right)^{t} \right]^{2} \cdot \textcolor{yellow}{ 1^{-1} } \\ \\
= & \ \lim_{t \to \infty} \left[ \textcolor{springgreen}{ \left( 1 + \frac{1}{t} \right)^{t} } \right]^{2} \\ \\
= & \ \textcolor{springgreen}{\mathrm{e}}^{2}
\end{aligned}
$$

比较上面的两个式子可知，虽然式子 $I_{1}$ 的次幂是 $2x + \textcolor{orangered}{2}$, 式子 $I_{2}$ 的次幂是 $2x + \textcolor{orangered}{1}$, 但是：

$$
I_{1} = I_{2} = \mathrm{e}^{2}
$$

于是可知，在无穷大的环境下，次幂中的常数其实不会影响式子的计算结果，所以，在计算式子 $I_{2}$ 的时候，我们完全可以将其次幂由 $2x + \textcolor{orangered}{1}$ 更改为 $2x + \textcolor{orangered}{2}$, 从而可以按照式子 $I_{1}$ 的计算方法完成计算，简化计算步骤。

三、总结

通过本文的计算，我们可以知道，当 $x \rightarrow \infty$, 且 $a$ 和 $b$ 是常数的情况下，下式成立：

$$
\lim_{x \to \infty} \square^{\textcolor{springgreen}{ x + a }} = \lim_{x \to \infty} \square^{\textcolor{springgreen}{ x + b }}
$$

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