利用定积分的定义计算两个简单的定积分

一、题目

定积分的定义是考研数学中经常考察的一个内容。但是，在真正的考试题中，我们能遇到的要使用定积分的定义求解的题目，一般是不能用一般的积分公式计算的，这样的题目不利于我们从更多的角度把握用定积分的定义解题这一方法的全貌。

所以，在本文中，「荒原之梦考研数学」将利用定积分的定义，给同学们演示对下面这两个比较简单的定积分进行求解的过程：

$$
\begin{aligned}
I_{1} = & \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x \\ \\
I_{2} = & \int_{1}^{2} \frac{1}{x} \mathrm{~d} x
\end{aligned}
$$

难度评级：

二、解析

$I_{1}$

这个式子如果用积分公式计算很容易：

$$
\begin{aligned}
I_{1} = & \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x \\ \\
= & \mathrm{e}^{x} \Big|_{0}^{1} = e – 1
\end{aligned}
$$

接下来，我们使用定积分的定义求解这个式子。

首先，函数 $y$ $=$ $\mathrm{e}^{x}$ 在区间 $[0, 1]$ 上是一个连续函数，因此，定积分 $\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x$ 的值可以被计算出来。

接着，我们将区间 $[0, 1]$ 平分成 $n$ 份，如果用坐标表示，即：

$$
\left[ 0, \frac{1}{n} \right], \ \left[ \frac{1}{n}, \frac{2}{n} \right], \ \left[ \frac{2}{n}, \frac{3}{n} \right], \ \cdots, \ \left[ \frac{n-1}{n}, 1 \right]
$$

此时，如果我们用 $\Delta_{i}$ 表示上面每一份的宽度（其中，$i$ $=$ $1$, $2$, $3$, $\cdots$, $n$），则：

$$
\Delta_{i} = \frac{1}{n}
$$

接着，我们取 $\sigma_{i}$ 为上面每一份中间位置的横坐标（其中，$i$ $=$ $1$, $2$, $3$, $\cdots$, $n$），即：

$$
\sigma_{i} = \frac{i}{n} \in \left[ \frac{i-1}{n}, \frac{i}{n} \right]
$$

于是，根据定积分的定义，可得：

$$
\begin{aligned}
I_{1} = & \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x \\ \\
= & \ \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{n} \cdot \mathrm{e}^{\frac{i}{n}} \right) \\ \\
= & \ \textcolor{yellow}{ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n} \cdot \sum_{i = 1}^{n} \mathrm{e}^{\frac{i}{n}} \right) }
\end{aligned}
$$

接着，由「荒原之梦考研数学」的《级数求和 $\lim_{n \to \infty}$ $\sum_{i = 1}^{n}$ $\mathrm{e}^{\frac{i}{n}}$ 怎么算？》这篇文章可知：

$$
\lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} \mathrm{e}^{\frac{i}{n}} = n \cdot (\mathrm{e} – 1)
$$

于是：

$$
\begin{aligned}
I_{1} = & \int_{0}^{1} \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x \\ \\
= & \ \textcolor{yellow}{ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{n} \cdot \sum_{i = 1}^{n} \mathrm{e}^{\frac{i}{n}} \right) } \\ \\
= & \ \lim_{n \to \infty} \left[ \frac{1}{n} \cdot n \cdot (\mathrm{e} – 1) \right] \\ \\
= & \ \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{ \mathrm{e} – 1 }}
\end{aligned}
$$

$I_{2}$

这个式子如果用积分公式计算很容易：

$$
\begin{aligned}
I_{2} = & \int_{1}^{2} \frac{1}{x} \mathrm{~d} x \\ \\
= & \ \ln x \Big|_{1}^{2} \\ \\
= & \ \ln 2 – \ln 1 \\ \\
= & \ \ln 2 – 0 \\ \\
= & \ \ln 2
\end{aligned}
$$

与式子 $I_{1}$ 类似，在本文中，「荒原之梦考研数学」会使用定积分的定义求解 $I_{2}$ 这个式子。

首先，由于函数 $y$ $=$ $\frac{1}{x}$ 在区间 $[1, 2]$ 上连续，所以，定积分 $\int_{1}^{2} \frac{1}{x} \mathrm{~d} x$ 存在，我们可以用定积分的定义求解该积分。

接着，根据「荒原之梦考研数学」的《用定积分的定义求解时怎么进行积分区间的分割？》这篇文章可知，对于积分区间 $[1, 2]$, 我们可以做如下分段点：

$$
\begin{cases}
x_{0} = k^{0} = 1 \\
x_{1} = k^{1} \\
x_{2} = k^{2} \\
\vdots \\
x_{n} = k^{n} = 2
\end{cases}
$$

同时，由 $k^{n}$ $=$ $2$ 可得：

$$
k = 2^{\frac{1}{n}}
$$

接着，我们就将区间 $[1, 2]$ 划分成了如下这些“段”：

$$
\begin{cases}
[1, k] \\
[k, k^{2}] \\
[k^{2}, k^{3}] \\
\vdots \\
[k^{n-1}, k^{n}]
\end{cases}
$$

且每个“段”的宽度 $\Delta x_{i}$ 为：

$$
\begin{aligned}
& \Delta x_{i} \\
= & \ x_{i} – x_{i – 1} \\
= & \ k^{i} – k^{i-1} \\
= & \ \textcolor{yellow}{ k^{i-1} (k-1) }
\end{aligned}
$$

其中，$k$ $=$ $2^{\frac{1}{n}}$, $i$ $=$ $1$, $2$, $3$, $\cdots$, $n$.

此时，如果令 $\xi_{i}$ $=$ $\textcolor{pink}{k^{i-1}}$, 则：

$$
\begin{aligned}
& \int_{1}^{2} \frac{1}{x} \mathrm{~d} x \\ \\
= & \ \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{\textcolor{pink}{k^{i-1}}} \cdot \textcolor{yellow}{ k^{i-1} (k-1) } \\ \\
= & \ \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} (k-1) \\ \\
= & \ \textcolor{tan}{ \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} (2^{\frac{1}{n}} – 1) } \\ \\
= & \ \lim_{n \to \infty} (2^{\frac{1}{n}} – 1) \cdot \textcolor{springgreen}{ \sum_{i=1}^{n} 1 } \\ \\
= & \ \lim_{n \to \infty} (2^{\frac{1}{n}} – 1) \cdot \textcolor{springgreen}{ n } \\ \\
= & \ \lim_{n \to \infty} \frac{2^{\frac{1}{n}} – 1}{\frac{1}{n}} \\ \\
\Rightarrow & \ \text{ 洛必达运算 } \\ \\
\Rightarrow & \ x = \frac{1}{n} \\ \\
= & \ \lim_{x \to 0} \frac{2^{x} – 1}{x} \\ \\
= & \ \lim_{x \to 0} \frac{\textcolor{orangered}{ 2^{x} } \cdot \ln 2}{1} \\ \\
= & \ \lim_{x \to 0} \frac{\textcolor{orangered}{ 1 } \cdot \ln 2}{1} \\ \\
= & \ \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{\ln 2}}
\end{aligned}
$$

Note

上面对 $\textcolor{tan}{ \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} (2^{\frac{1}{n}} – 1) }$ 的计算可以参考「荒原之梦考研数学」的《求和符号中的 $i$ 和 $n$ 有啥区别？》这篇文章。

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