求和符号中的 $i$ 和 $n$ 有啥区别？

一、前言

求和符号是我们在考研数学中很常见到的一个符号，常见的求和符号写法如下：

$$\sum _{i=1}^{n=16}$$

或者：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{i=1}^n$$

那么，我们应该怎么理解上面这个求和符号呢？以及该怎么让求和符合参与到具体的计算中呢？

在本文中，「荒原之梦考研数学」就给同学们讲解一下这个问题。

二、正文

首先，如果我们把“ 求 和 ”看作在一段路上“ 散 步 ”的话，那么，求和符号 “$\sum _{i=1}^n$” 中的 $n$ 就是散步要走的“ 步 数 ”，而 $i$ 则用来决定每一步的“ 步 长 ”——

在很多时候，每一步的步长都是不相等的，例如：

$$\begin{array}{rl}\sum _{i=1}^3\frac{1}{i}=& \frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\\ \\ \sum _{i=1}^3\frac{1}{i^2}=& \frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}\end{array}$$

当然，对于一些特殊的求和式子，其每一步的“步长”也可能是相等的，例如：

$$\begin{array}{rl}\sum _{i=1}^{3}1=& 1+1+1=3\\ \\ \sum _{i=1}^{3}2=& 2+2+2=6\\ \\ \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{i=1}^{n}1=& 1+1+\cdots +1=n\\ \\ \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{i=1}^{n}x=& x+x+\cdots +x=nx\end{array}$$

Tip

在 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{i=1}^{n}x$ 中，$x$ 是一个可能和 $n$ 有关，但一定和 $i$ 无关的变量。如果 $x$ 和 $i$ 有关，则 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{i=1}^{n}x$ $\ne$ $nx$.

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所以，遇到求和符号，我们可以用“散步”来进行理解，同时还要注意被求和的式子与 $n$ 和 $i$ 的关系。

Note

在不同的求和运算中，我们可以会用其他符号表示本文所用求和符号 $\sum _{i=1}^n$ 中的字母 $n$ 和 $i$.

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