利用“对称初等变换”求解合同矩阵中的可逆矩阵 C

一、题目

难度评级：

二、解析

-· 分析 ·-

-· 计算 ·-

由于单位矩阵可以用来记录初等变换，并且对称矩阵/单位矩阵经“对称初等变换”可以生成互为转置矩阵的两个矩阵, 所以，我们只需要对矩阵 $\mathit{A}$ 进行初等行变换和初等列变换，使之转换为矩阵 $\mathit{B}$, 并在此过程中用单位矩阵进行记录即可。

先进行一次 初 等 行 变 换 ：

$$\begin{array}{rl}& \left[\begin{array}{ccccccc}0& 1& 1& |& 1& 0& 0\\ 1& 3& 1& |& 0& 1& 0\\ 1& 1& 0& |& 0& 0& 1\end{array}\right]\\ \\ \stackrel{r_1\leftrightarrow r_2}{\Rightarrow }& \left[\begin{array}{ccccccc}1& 3& 1& |& \text{0}& \text{1}& \text{0}\\ 0& 1& 1& |& \text{1}& \text{0}& \text{0}\\ 1& 1& 0& |& \text{0}& \text{0}& \text{1}\end{array}\right]\end{array}$$

接着进行一次 初 等 列 变 换 ：

$$\begin{array}{rl}& \left[\begin{array}{ccc}1& 3& 1\\ 0& 1& 1\\ 1& 1& 0\\ -& -& -\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\\ \\ \stackrel{c_1\leftrightarrow c_2}{\Rightarrow }& \left[\begin{array}{ccc}3& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 1& 1& 0\\ -& -& -\\ \text{0}& \text{1}& \text{0}\\ \text{1}& \text{0}& \text{0}\\ \text{0}& \text{0}& \text{1}\end{array}\right]\end{array}$$

通过上面的列变换，我们得到了：

$$\left[\begin{array}{ccc}3& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right]=\mathit{B}$$

于是，根据矩阵初等变换中的“左行右列”原则，我们知道通过初等行变换得到的矩阵就是式子 “${\mathit{C}}^{\mathbf{\top }}\mathit{A}\mathit{C}$ $=$ $\mathit{B}$” 左侧的矩阵 ${\mathit{C}}^{\mathrm{\top }}$, 即：

$${\mathit{C}}^{\mathrm{\top }}=\left[\begin{array}{ccc}\text{0}& \text{1}& \text{0}\\ \text{1}& \text{0}& \text{0}\\ \text{0}& \text{0}& \text{1}\end{array}\right]$$

对应的，通过初等列变换得到的矩阵对应于式子 “${\mathit{C}}^{\mathbf{\top }}\mathit{A}\mathit{C}$ $=$ $\mathit{B}$” 右侧的矩阵 $\mathit{C}$, 也就是本题要求解的答案：

$$\mathit{C}=\left[\begin{array}{ccc}\text{0}& \text{1}& \text{0}\\ \text{1}& \text{0}& \text{0}\\ \text{0}& \text{0}& \text{1}\end{array}\right]$$

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