一、前言 
考场上的每一分每一秒都很关键，所以，在保证正确的情况下，做题速度越快，竞争优势也就越大。为此，「荒原之梦考研数学」为同学们总结归纳了对含有 $\textcolor{orange}{\mathbf{e}} ^{x}$ 或者 $\textcolor{orange}{\mathbf{e}} ^{kx}$ 的多项式（其中 $k$ 为常数）进行求导的快速方法。
二、正文 
形式一：$Z(x) \cdot \textcolor{orange}{\mathbf{e}} ^{x}$
若 $Z(x)$ 是一个形如 $k_{1} x ^{a}$ $+$ $k_{2} x ^{b}$ $+$ $k_{3} x ^{c}$ $+$ $\cdots$ 的多项式（其中 $k_{1}$, $k_{2}$, $k_{3}$, $a$, $b$, $c$ 为任意常数），在求导的过程中，我们可以将 $\textcolor{orange}{\mathbf{e}} ^{x}$ 看作常数处理，即：
$$
\textcolor{blue}{
\begin{aligned}
& \left[ Z(x) \cdot \textcolor{orange}{\mathbf{e}} ^{x} \right] ^{\prime} _{x} \\ \\
= & \left[ Z(x) + Z ^{\prime} (x) \right] \textcolor{orange}{\mathbf{e}} ^{x}
\end{aligned}
}
$$
-· 例1 ·-
$$
\begin{aligned}
& \left( x ^{2} \cdot \textcolor{orange}{\mathbf{e}} ^{x} + 2x \textcolor{orange}{\mathbf{e}} ^{x} \right) ^{\prime} _{x} \\ \\
\Rightarrow & \left[ \left( x ^{2} + 2x \right) + \left( x ^{2} + 2x \right) ^{\prime} _{x} \right] \cdot \textcolor{orange}{\mathbf{e}} ^{x} \\ \\
\Rightarrow & \textcolor{yellow}{\boldsymbol{ \left( x ^{2} + 4x + 2 \right) \cdot \textcolor{orange}{\mathbf{e}} ^{x} } }
\end{aligned}
$$
-· 例2 ·-
$$
\begin{aligned}
& \left( 3 x ^{3} \textcolor{orange}{\mathbf{e}}^{x} + 2 x^{2} \textcolor{orange}{\mathbf{e}}^{x} + x \textcolor{orange}{\mathbf{e}}^{x} \right)^{\prime}_{x} \\ \\
\Rightarrow & \left[ \left( 3x ^{3} + 2x ^{2} + x \right) + \left( 3 x ^{3} + 2 x^{2} + x \right) ^{\prime} _{x} \right] \cdot \textcolor{orange}{\mathbf{e}}^{x} \\ \\
\Rightarrow & \left( 3x ^{3} + 2x ^{2} + x + 9 x^{2} + 4x + 1 \right) \cdot \textcolor{orange}{\mathbf{e}}^{x} \\ \\
\Rightarrow & \textcolor{yellow}{ \boldsymbol{ \left( 3x ^{3} + 11x ^{2} + 5x + 1 \right) \cdot \textcolor{orange}{\mathbf{e}}^{x} } }
\end{aligned}
$$
形式二：$Z(x) \cdot \textcolor{orange}{\mathbf{e}} ^{ \textcolor{magenta}{k} x}$
若 $Z(x)$ 是一个多项式，$\textcolor{magenta}{k}$ 是一个常数，则：
$$
\textcolor{blue}{
\begin{aligned}
& \left[ Z(x) \cdot \textcolor{orange}{\mathbf{e}} ^{\textcolor{magenta}{k} x} \right] ^{\prime}_{x} \\ \\
= & \left[ \textcolor{magenta}{k} \cdot Z(x) + Z ^{\prime} (x) \right] \textcolor{orange}{\mathbf{e}} ^{x}
\end{aligned}
}
$$
-· 例3 ·-
$$
\begin{aligned}
& \left( x ^{2} \cdot \textcolor{orange}{\mathbf{e}} ^{\textcolor{magenta}{3} x} + 2x \textcolor{orange}{\mathbf{e}} ^{\textcolor{magenta}{3} x} \right) ^{\prime} _{x} \\ \\
\Rightarrow & \left[ \textcolor{magenta}{3} \cdot \left( x ^{2} + 2x \right) + \left( x ^{2} + 2x \right) ^{\prime} _{x} \right] \cdot \textcolor{orange}{\mathbf{e}} ^{\textcolor{magenta}{3} x} \\ \\
\Rightarrow & \textcolor{yellow}{\boldsymbol{ \left( 3x ^{2} + 8x + 2 \right) \cdot \textcolor{orange}{\mathbf{e}} ^{\textcolor{magenta}{3} x} } }
\end{aligned}
$$
-· 例4 ·-
$$
\begin{aligned}
& \left( 3 x ^{3} \textcolor{orange}{\mathbf{e}}^{\textcolor{magenta}{3} x} + 2 x^{2} \textcolor{orange}{\mathbf{e}}^{\textcolor{magenta}{3} x} + x \textcolor{orange}{\mathbf{e}}^{\textcolor{magenta}{3} x} \right)^{\prime}_{x} \\ \\
\Rightarrow & \left[ \textcolor{magenta}{3} \cdot \left( 3x ^{3} + 2x ^{2} + x \right) + \left( 3 x ^{3} + 2 x^{2} + x \right) ^{\prime} _{x} \right] \cdot \textcolor{orange}{\mathbf{e}}^{\textcolor{magenta}{3} x} \\ \\
\Rightarrow & \left( 9x ^{3} + 6x ^{2} + 3x + 9 x^{2} + 4x + 1 \right) \cdot \textcolor{orange}{\mathbf{e}}^{\textcolor{magenta}{3} x} \\ \\
\Rightarrow & \textcolor{yellow}{ \boldsymbol{ \left( 9x ^{3} + 15x ^{2} + 7x + 1 \right) \cdot \textcolor{orange}{\mathbf{e}}^{\textcolor{magenta}{3} x} } }
\end{aligned}
$$
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