对含有 e 的式子进行快速求导的方法

一、前言

考场上的每一分每一秒都很关键，所以，在保证正确的情况下，做题速度越快，竞争优势也就越大。为此，「荒原之梦考研数学」为同学们总结归纳了对含有 $e^{x}$ 或者 $e^{k x}$ 的多项式（其中 $k$ 为常数）进行求导的快速方法。

二、正文

形式一： $Z (x) \cdot e^{x}$

若 $Z (x)$ 是一个形如 $k_{1} x^{a}$ $+$ $k_{2} x^{b}$ $+$ $k_{3} x^{c}$ $+$ $\dots$ 的多项式（其中 $k_{1}$ , $k_{2}$ , $k_{3}$ , $a$ , $b$ , $c$ 为任意常数），在求导的过程中，我们可以将 $e^{x}$ 看作常数处理，即：

$\begin{aligned} {[Z (x) \cdot e^{x}]}_{x}^{'} \\ = & [Z (x) + Z^{'} (x)] e^{x} \end{aligned}$

-· 例1 ·-

$\begin{aligned} {(x^{2} \cdot e^{x} + 2 x e^{x})}_{x}^{'} \\ \Rightarrow & [(x^{2} + 2 x) + {(x^{2} + 2 x)}_{x}^{'}] \cdot e^{x} \\ \Rightarrow & (x^{2} + 4 x + 2) \cdot e^{x} \end{aligned}$

-· 例2 ·-

$\begin{aligned} {(3 x^{3} e^{x} + 2 x^{2} e^{x} + x e^{x})}_{x}^{'} \\ \Rightarrow & [(3 x^{3} + 2 x^{2} + x) + {(3 x^{3} + 2 x^{2} + x)}_{x}^{'}] \cdot e^{x} \\ \Rightarrow & (3 x^{3} + 2 x^{2} + x + 9 x^{2} + 4 x + 1) \cdot e^{x} \\ \Rightarrow & (3 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x + 1) \cdot e^{x} \end{aligned}$

形式二： $Z (x) \cdot e^{k x}$

若 $Z (x)$ 是一个多项式， $k$ 是一个常数，则：

$\begin{aligned} {[Z (x) \cdot e^{k x}]}_{x}^{'} \\ = & [k \cdot Z (x) + Z^{'} (x)] e^{x} \end{aligned}$

-· 例3 ·-

$\begin{aligned} {(x^{2} \cdot e^{3 x} + 2 x e^{3 x})}_{x}^{'} \\ \Rightarrow & [3 \cdot (x^{2} + 2 x) + {(x^{2} + 2 x)}_{x}^{'}] \cdot e^{3 x} \\ \Rightarrow & (3 x^{2} + 8 x + 2) \cdot e^{3 x} \end{aligned}$

-· 例4 ·-

$\begin{aligned} {(3 x^{3} e^{3 x} + 2 x^{2} e^{3 x} + x e^{3 x})}_{x}^{'} \\ \Rightarrow & [3 \cdot (3 x^{3} + 2 x^{2} + x) + {(3 x^{3} + 2 x^{2} + x)}_{x}^{'}] \cdot e^{3 x} \\ \Rightarrow & (9 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x + 9 x^{2} + 4 x + 1) \cdot e^{3 x} \\ \Rightarrow & (9 x^{3} + 15 x^{2} + 7 x + 1) \cdot e^{3 x} \end{aligned}$

对含有 e 的式子进行快速求导的方法

一、前言

二、正文

形式一： $Z (x) \cdot e^{x}$

-· 例1 ·-

-· 例2 ·-

形式二： $Z (x) \cdot e^{k x}$

-· 例3 ·-

-· 例4 ·-

高等数学

线性代数

特别专题

一、前言

二、正文

形式一：Z(x)⋅ex

-· 例1 ·-

-· 例2 ·-

形式二：Z(x)⋅ekx

-· 例3 ·-

-· 例4 ·-

高等数学

线性代数

特别专题

相关文章：

形式一： $Z (x) \cdot e^{x}$

形式二： $Z (x) \cdot e^{k x}$