用画图的方式求解概率论题目很方便，但难点在于如何画和怎么理解

一、题目

难度评级：

二、解析

解法一：画图

在韦恩图上，只有当事件 $A$ 与事件 $\overline{B}$, 以及事件 $\overline{A}$ 与事件 $B$ 的“形状”和“面积”完全相同的时候，才会有 $AB$ $=$ $\overline{A}\overline{B}$, 此时也能推导出 $A\cup B$ $=$ $\mathrm{\Omega }$ 的结论，如图 01 所示：

而一旦事件 $A$ 与事件 $\overline{B}$, 以及事件 $\overline{A}$ 与事件 $B$ 的韦恩图“形状”和“面积”不相同，就会产生“间隙”，从而导致，$AB$ $\ne$ $\overline{A}\overline{B}$, 同时也无法推导出 $A\cup B$ $=$ $\mathrm{\Omega }$ 的结论，如图 02 所示：

也就是说，由图可知：

$$\begin{array}{rl}& AB=\overline{A}\overline{B}\\ \Rightarrow & \mathit{A}\mathbf{\cup }\mathit{B}\mathbf{=}\mathbf{\Omega }\end{array}$$

综上可知，本 题 应 选 A

解法二：特例猜测

为了使 $AB$ $=$ $\overline{A}\overline{B}$ 成立，我们可以令：

$$\{\begin{array}{l}A=\overline{A}\\ B=\overline{B}\end{array}$$

或者：

$$\{\begin{array}{l}A=\overline{B}\\ B=\overline{A}\end{array}$$

根据「荒原之梦考研数学」的《事件与其对立事件可能相等吗？》这篇文章可知，无论什么事件（包括比较特殊的空集与全集）都不可能存在一个事件和其对立事件相等的情况，因此：

$$\{\begin{array}{l}A\ne \overline{A}\\ B\ne \overline{B}\end{array}$$

所以，只能能有：

$$\{\begin{array}{l}A=\overline{B}\\ B=\overline{A}\end{array}$$

从而：

$$\begin{array}{rl}& A\cup B\\ =& A\cup \overline{A}\\ =& \mathbf{\Omega }\end{array}$$

综上可知，本 题 应 选 A

解法三：借助摩根律

根据摩根律我们可知：

$$\begin{array}{r}AB\\ & =\overline{A}\cap \overline{B}\\ & =\overline{A\cup B}\end{array}$$

又因为 $A\cap B$ 一定“小于”$A\cup B$, 即：

$$AB\subset (A\cup B)$$

于是：

$$\begin{array}{r}A\cup B\\ & =(A\cup B)\cup (AB)\\ & =(A\cup B)\cup (\overline{A}\cap \overline{B})\\ & =(A\cup B)\cup (\overline{A\cup B})\\ & =\mathbf{\Omega }\end{array}$$

其中，$\mathbf{\Omega }$ 表示全集。

综上可知，本 题 应 选 A

解法四：用事件概率的思想计算

已知，概率的减法公式为：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& P(B–A)=P(B)–P(AB)\end{array}$$

如果 $A$ $\subset$ $B$, 则：

$$AB\subset A$$

此时，$(1)$ 式就可以变为：

$$\begin{array}{}\text{(2)}& P(B–A)=P(B)–P(A)\end{array}$$

于是：

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \begin{array}{rl}& P(\overline{A}B)\\ =& P[(1-A)B]\\ =& P(B–AB)\\ \stackrel{AB\subset A}{=}& P(B)–P(AB)\end{array}\end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(4)}& \begin{array}{rl}& P(A\overline{B})\\ =& P[A(1-B)]\\ =& P(A–AB)\\ \stackrel{AB\subset A}{=}& P(A)–P(AB)\end{array}\end{array}$$

又根据题目可知：

$$P(AB)=P(\overline{A}\overline{B})$$

于是：

$$\begin{array}{rl}& \{\begin{array}{l}P(AB)=P(A)–P(A\overline{B})\\ P(\overline{A}\overline{B})=P(\overline{A})–P(\overline{A}B)\end{array}\\ \Rightarrow & P(AB)=P(\overline{A}\overline{B})\\ \Rightarrow & 2P(AB)=P(A)+P(\overline{A})–P(A\overline{B})–P(\overline{A}B)\\ \Rightarrow & 2P(AB)=1–P(A\overline{B})–P(\overline{A}B)\\ \Rightarrow & 2P(AB)=1–[P(A\overline{B})+P(\overline{A}B)]\\ (3),(4)\Rightarrow & 2P(AB)=1–\{[P(A)–P(AB)]+[P(B)–P(AB)]\}\\ \Rightarrow & 2P(AB)=1–[P(A)+P(B)–2P(AB)]\\ \Rightarrow & 2P(AB)=1–[P(A)+P(B)]+2P(AB)\\ \Rightarrow & 0=1–P(A)+P(B)\\ \Rightarrow & P(A)+P(B)=1\\ \Rightarrow & \mathit{A}\mathbf{\cup }\mathit{B}\mathbf{=}\mathbf{\Omega }\end{array}$$

综上可知，本 题 应 选 A

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