用画图的方式求解概率论题目很方便，但难点在于如何画和怎么理解

一、题目

难度评级：

二、解析

解法一：画图

在韦恩图上，只有当事件 $A$ 与事件 $\bar{B}$, 以及事件 $\bar{A}$ 与事件 $B$ 的“形状”和“面积”完全相同的时候，才会有 $AB$ $=$ $\bar{A} \bar{B}$, 此时也能推导出 $A \cup B$ $=$ $\Omega$ 的结论，如图 01 所示：

而一旦事件 $A$ 与事件 $\bar{B}$, 以及事件 $\bar{A}$ 与事件 $B$ 的韦恩图“形状”和“面积”不相同，就会产生“间隙”，从而导致，$AB$ $\neq$ $\bar{A} \bar{B}$, 同时也无法推导出 $A \cup B$ $=$ $\Omega$ 的结论，如图 02 所示：

也就是说，由图可知：

$$
\begin{aligned}
& AB = \bar{A} \bar{B} \\
\Rightarrow & \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{ A \cup B = \Omega }}
\end{aligned}
$$

综上可知，本 题 应 选 A

解法二：特例猜测

为了使 $A B$ $=$ $\bar { A } \bar { B }$ 成立，我们可以令：

$$
\textcolor{yellow}{
\begin{cases}
A = \bar{A} \\
B = \bar{B}
\end{cases}
}
$$

或者：

$$
\textcolor{yellow}{
\begin{cases}
A = \bar{B} \\
B = \bar{A}
\end{cases}
}
$$

根据「荒原之梦考研数学」的《事件与其对立事件可能相等吗？》这篇文章可知，无论什么事件（包括比较特殊的空集与全集）都不可能存在一个事件和其对立事件相等的情况，因此：

$$
\textcolor{orangered}{
\begin{cases}
A \neq \bar{A} \\
B \neq \bar{B}
\end{cases}
}
$$

所以，只能能有：

$$
\textcolor{springgreen}{
\begin{cases}
A = \bar{B} \\
B = \bar{A}
\end{cases}
}
$$

从而：

$$
\begin{aligned}
& \textcolor{springgreen}{ A \cup B } \\
= & A \cup \bar{A} \\
= & \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{ \Omega }}
\end{aligned}
$$

综上可知，本 题 应 选 A

解法三：借助摩根律

根据摩根律我们可知：

$$
\begin{aligned}
A B \\
& = \bar{A} \cap \bar{B} \\
& = \overline{A \cup B}
\end{aligned}
$$

又因为 $A \cap B$ 一定“小于”$A \cup B$, 即：

$$
\textcolor{yellow}{
AB \subset (A \cup B)
}
$$

于是：

$$
\begin{aligned}
A \cup B \\
& = ( A \cup B ) \cup (\textcolor{orange}{A B}) \\
& = ( A \cup B ) \cup (\textcolor{orange}{\bar{A} \cap \bar{B}}) \\
& = ( A \cup B ) \cup (\textcolor{orange}{\overline{A \cup B}}) \\
& = \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{\Omega}}
\end{aligned}
$$

其中，$\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{\Omega}}$ 表示全集。

综上可知，本 题 应 选 A

解法四：用事件概率的思想计算

已知，概率的减法公式为：

$$
\textcolor{yellow}{
P(B – A) = P(B) – P(AB) } \tag{1}
$$

如果 $A$ $\subset$ $B$, 则：

$$
AB \subset A
$$

此时，$(1)$ 式就可以变为：

$$
\textcolor{orange}{
P(B – A) = P(B) – P(A)
} \tag{2}
$$

于是：

$$
\begin{aligned}
& \textcolor{springgreen}{P(\bar{A} B)} \\
= & P[(1-A) B] \\
= & P (B – AB) \\
\xlongequal{AB \subset A} & \textcolor{springgreen}{P(B) – P(AB)}
\end{aligned} \tag{3}
$$

$$
\begin{aligned}
& \textcolor{springgreen}{P(A \bar{B})} \\
= & P[A (1-B)] \\
= & P (A – AB) \\
\xlongequal{AB \subset A} & \textcolor{springgreen}{P(A) – P(AB)}
\end{aligned} \tag{4}
$$

又根据题目可知：

$$
\textcolor{yellow}{
P(AB) = P(\bar{A} \bar{B})
}
$$

于是：

$$
\begin{aligned}
& \begin{cases}
\textcolor{magenta}{P(AB) = P(A) – P(A \bar{B})} \\
P(\bar{A} \bar{B}) = \textcolor{magenta}{P(\bar{A}) – P(\bar{A} B)}
\end{cases} \\
\Rightarrow & P(AB) = P (\bar{A} \bar{B}) \\
\Rightarrow & \textcolor{magenta}{2} P(AB) = \textcolor{orange}{P(A) + P(\bar{A})} – P(A \bar{B}) – P(\bar{A} B) \\
\Rightarrow & 2P(AB) = \textcolor{orange}{1} – P(A \bar{B}) – P(\bar{A} B) \\
\Rightarrow & 2P(AB) = 1 – \left[ P(A \bar{B}) + P(\bar{A} B) \right] \\
(3), (4) \Rightarrow & 2P(AB) = 1 – \left\{ \left[ P(A) – P(AB) \right] + \left[ P(B) – P(AB) \right] \right\} \\
\Rightarrow & 2P(AB) = 1 – \left[ P(A) + P(B) – 2 P(AB) \right] \\
\Rightarrow & 2P(AB) = 1 – \left[ P(A) + P(B) \right] + 2 P(AB) \\
\Rightarrow & 0 = 1 – P(A) + P(B) \\
\Rightarrow & P(A) + P(B) = 1 \\
\Rightarrow & \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{ A \cup B = \Omega }}
\end{aligned}
$$

综上可知，本 题 应 选 A

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