这道题你去几次根号可以解出来？

一、题目

难度评级：

二、解析

§1. 解法一

由于：

$$\begin{array}{rl}& \int \frac{1}{\sqrt{x^3(1-x)}}\mathrm{d}x\\ \\ =& \int \frac{1}{\sqrt{x^4\left(\frac{1-x}{x}\right)}}\mathrm{d}x\\ \\ =& \int \frac{1}{x^2\sqrt{\frac{1-x}{x}}}\mathrm{d}x\\ \\ =& \int \frac{1}{\sqrt{\frac{1-x}{x}}}\cdot \frac{1}{x^2}\mathrm{d}x\\ \\ =& \int \frac{1}{\sqrt{\frac{1-x}{x}}}\mathrm{d}\left(\frac{-1}{x}\right)\\ \\ =& –\int \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{x}–1}}\mathrm{d}\left(\frac{1}{x}\right)\\ \\ \stackrel{k=1/x}{=}& –\int \frac{1}{\sqrt{k–1}}\mathrm{d}\left(k\right)\\ \\ =& –\int {\left(k–1\right)}^{\frac{-1}{2}}\mathrm{d}\left(k–1\right)\\ \\ =& -2\sqrt{k-1}+C_0\\ \\ =& -2\sqrt{\frac{1}{x}–1}+C_0\end{array}$$

其中，$C_0$ 为任意常数。

也就是说：

$${\left(\sqrt{\frac{1}{x}–1}\right)}_x^{\prime }=-2\cdot \frac{1}{\sqrt{x^3(1-x)}}$$

于是：

$$\begin{array}{rl}& I\\ \\ =& \int \frac{\ln x}{\sqrt{x^3(1-x)}}\mathrm{d}x\\ \\ =& -2\int \ln x\mathrm{d}\left(\sqrt{\frac{1–x}{x}}\right)\\ \\ \stackrel{\text{分部积分}}{=}& –2\sqrt{\frac{1–x}{x}}\ln x+2\int \sqrt{\frac{1–x}{x}}\mathrm{d}(\ln x)\\ \\ =& –2\sqrt{\frac{1–x}{x}}\ln x+2\int \sqrt{\frac{1–x}{x}}\cdot \frac{1}{x}\mathrm{d}x\\ \end{array}$$

又因为：

$$\begin{array}{rl}& 2\int \sqrt{\frac{1–x}{x}}\cdot \frac{1}{x}\mathrm{d}x\\ \\ =& 2\int \frac{1}{x}\cdot \frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x\\ \\ =& 2\int \frac{1}{x}\cdot \frac{(\sqrt{1-x})(\sqrt{1-x})}{(\sqrt{x})(\sqrt{1-x})}\mathrm{d}x\\ \\ =& 2\int \frac{1}{x}\cdot \frac{1-x}{\sqrt{x(1-x)}}\mathrm{d}x\\ \\ =& 2\int \frac{1–x}{x\sqrt{x(1–x)}}\mathrm{d}x\\ \\ =& 2\int \frac{\mathrm{d}x}{x\sqrt{x(1–x)}}–2\int \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x(1–x)}}\\ \\ =& 4\int \frac{\mathrm{d}\left(\frac{1–x}{x}\right)}{-2\sqrt{\frac{1–x}{x}}}–2\int \frac{1}{\sqrt{x}\cdot \sqrt{1–x}}\mathrm{d}x\\ \\ =& 4\int \frac{\mathrm{d}\left(\frac{1–x}{x}\right)}{-2\sqrt{\frac{1–x}{x}}}–2\int \frac{\frac{1}{\sqrt{x}}}{\sqrt{1–x}}\mathrm{d}x\\ \\ \stackrel{(\sqrt{x}{)}^{\prime }=\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{x}}}{=}& 4\int \frac{\mathrm{d}\left(\frac{1–x}{x}\right)}{-2\sqrt{\frac{1–x}{x}}}–2\cdot 2\int \frac{1}{\sqrt{1–x}}\mathrm{d}\left(\sqrt{x}\right)\\ \\ =& 4\int \frac{\mathrm{d}\left(\frac{1–x}{x}\right)}{-2\sqrt{\frac{1–x}{x}}}–4\int \frac{1}{\sqrt{1–(\sqrt{x}{)}^2}}\mathrm{d}(\sqrt{x})\\ \\ =& –4\sqrt{\frac{1–x}{x}}–4\arcsin \sqrt{x}+C_1\end{array}$$

于是：

$$\mathit{I}\mathbf{=}–\mathbf{2}\sqrt{\frac{\mathbf{1}–\mathit{x}}{\mathit{x}}}\mathbf{ln}\mathbf{}\mathit{x}–\mathbf{4}\sqrt{\frac{\mathbf{1}–\mathit{x}}{\mathit{x}}}–\mathbf{4}\mathbf{arcsin}\mathbf{}\sqrt{\mathit{x}}\mathbf{+}{\mathit{C}}_{\mathbf{1}}$$

其中，$C_1$ 为任意常数。

§2. 解法二

首先，将被积函数分母根号中的 “$x^3$” 与 “$(1–x)$” 分离开：

$$\begin{array}{rl}& I\\ \\ =& \int \frac{\ln x}{\sqrt{x^3(1-x)}}\mathrm{d}x\\ \\ =& \int \frac{\ln x}{\sqrt{(x^3)}\cdot \sqrt{(1-x)}}\mathrm{d}x\end{array}$$

之后，通过令 $t$ $=$ $\sqrt{1-x}$ 对上面式子中的 $\sqrt{(1-x)}$ 做整体代换，因为这样可以去掉一个根号。此时 $x$ $=$ $1–t^2$:

$$\begin{array}{rl}& I\\ \\ =& \int \frac{\ln x}{\sqrt{(x^3)}\cdot \sqrt{(1-x)}}\mathrm{d}x\\ \\ \underset{x=1–t^2}{\overset{t=\sqrt{1–x}}{=}}& \int \frac{\ln (1–t^2)}{\sqrt{(1–t^2{)}^3}\times t}\mathrm{d}(1–t^2)\\ \\ =(-2)\cdot & \int \frac{\ln (1–t^2)\times \text{t}}{\sqrt{(1–t^2{)}^3}\times \text{t}}\mathrm{d}t\\ \\ =(-2)\cdot & \int \frac{\ln (1–t^2)}{\sqrt{(1–t^2{)}^3}}\mathrm{d}t\\ \end{array}$$

之后，我们使用三角代换的方式去除上式中的根号，令 $t$ $=$ $\sin \theta$, 即：

$$\begin{array}{rl}& I\\ \\ \stackrel{t=\sin \theta }{=}(-2)& \int \frac{\ln (1–t^2)}{\sqrt{(1–t^2{)}^3}}\mathrm{d}t\\ \\ =(-2)& \int \frac{\ln ({\cos }^2\theta )}{{\cos }^3\theta }\mathrm{d}(\sin \theta )\\ \\ =(-2)& \int \frac{\cos \theta \cdot \ln ({\cos }^2\theta )}{{\cos }^3\theta }\mathrm{d}\theta \\ \\ =(-2)& \int \frac{\ln ({\cos }^2\theta )}{{\cos }^2\theta }\mathrm{d}\theta \\ \\ =(-2\cdot 2)& \int \frac{\ln (\cos \theta )}{{\cos }^2\theta }\mathrm{d}\theta \\ \\ =(-4)& \int \ln (\cos \theta )\cdot \frac{1}{{\cos }^2\theta }\mathrm{d}\theta \\ \\ =(-4)& \int \ln (\cos \theta )\mathrm{d}(\tan \theta )\\ \\ \stackrel{\text{ 分部积分 }}{=}(-4)& [\ln (\cos \theta )\cdot \tan \theta –\int \tan \theta \mathrm{d}[\ln (\cos \theta )]]\\ \\ =-4& \ln (\cos \theta )\tan \theta +4\int \tan \theta \cdot \frac{-\sin \theta }{\cos \theta }\mathrm{d}\theta \\ \\ =-4& \tan \theta \ln (\cos \theta )–4\int {\tan }^2\theta \mathrm{d}\theta \\ \\ =-4& \tan \theta \ln (\cos \theta )–4\int \frac{{\sin }^2\theta }{{\cos }^2\theta }\mathrm{d}\theta \\ \\ =-4& \tan \theta \ln (\cos \theta )–4\int \frac{1–{\cos }^2\theta }{{\cos }^2\theta }\mathrm{d}\theta \\ \\ =-4& \tan \theta \ln (\cos \theta )–4\int \left(\frac{1}{{\cos }^2\theta }–1\right)\mathrm{d}\theta \\ \\ =-4& \tan \theta \ln (\cos \theta )–4\int \frac{1}{{\cos }^2\theta }\mathrm{d}\theta +4\int 1\mathrm{d}\theta \\ \\ =-4& \tan \theta \ln (\cos \theta )–4\tan \theta +4\theta +C_2\\ \end{array}$$

接着，根据 $t$ $=$ $\sin \theta$ $=$ $\sqrt{1-x}$, $\theta$ $=$ $\arcsin t$ $=$ $\arcsin (\sqrt{1-x})$ 进行回代：

$$\begin{array}{rl}& I\\ \\ =-4& \tan \theta \ln (\cos \theta )–4\tan \theta +4\theta +C_2\\ \\ =-4& \tan (\arcsin t)\cdot \ln [\cos (\arcsin t)]\\ –4& \tan (\arcsin t)+4\arcsin t+C_2\\ \\ =-4& \frac{t}{\sqrt{1–t^2}}\cdot \ln (\sqrt{1–t^2})–\frac{4t}{\sqrt{1–t^2}}+4\arcsin t+C_2\\ \\ =& \frac{-4\sqrt{1-x}}{\sqrt{x}}\cdot \ln \sqrt{x}+\frac{-4\sqrt{1-x}}{\sqrt{x}}+4\arcsin (\sqrt{1-x})+C_2\\ \\ =& \frac{-4\sqrt{1-x}}{\sqrt{x}}\cdot \ln x^{\frac{1}{2}}+\frac{-4\sqrt{1-x}}{\sqrt{x}}+4\arcsin (\sqrt{1-x})+C_2\\ \\ =& \frac{1}{2}\cdot \frac{-4\sqrt{1-x}}{\sqrt{x}}\cdot \ln x+\frac{-4\sqrt{1-x}}{\sqrt{x}}+4\arcsin (\sqrt{1-x})+C_2\\ \\ =& \mathbf{-}\mathbf{2}\sqrt{\frac{\mathbf{1}\mathbf{-}\mathit{x}}{\mathit{x}}}\mathbf{\cdot }\mathbf{ln}\mathbf{}\mathit{x}–\mathbf{4}\sqrt{\frac{\mathbf{1}\mathbf{-}\mathit{x}}{\mathit{x}}}\mathbf{+}\mathbf{4}\mathbf{arcsin}\mathbf{}\mathbf{(}\sqrt{\mathbf{1}\mathbf{-}\mathit{x}}\mathbf{)}\mathbf{+}{\mathit{C}}_{\mathbf{2}}\\ \end{array}$$

Note

参考连接一：$\cos (\arcsin x)$ $=$ $\sqrt{1–x^2}$;
参考连接二：$\tan (\arcsin x)$ $=$ $\frac{x}{\sqrt{1–x^2}}$.

zhaokaifeng.com

在解法二中，我们得到的最终积分结果与前两种方法得到的积分结果中的 “$4\arcsin (\sqrt{1-x})$ $+$ $C_2$” 这一部分不相同，但其实作用呢是一样的，因为 “$4\arcsin (\sqrt{1-x})$ $+$ $C_2$” 的求导结果与 “$-4\arcsin (\sqrt{x})$ $+$ $C_1$” 的求导结果相等。

此外，从函数图象上可以看出来（如图 01 所示），函数 $y$ = $\arcsin \left(\sqrt{1-x}\right)$ （绿色实线）和函数 $y$ $=$ $-\arcsin \left(\sqrt{x}\right)$ 就是只相差一个常数：

---