一、前言 ![前言 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/27d32864d84c052488cc5282d2051ce384fc5da0a8d27fd8250711674382591b80cf1f6df48c8b93891fe0874a5a5739d1bf2be3246a1c8cf0274958030b1195.svg)
如果已知 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$, 以及 $n$ 阶零矩阵 $\boldsymbol{O}$, 且下式成立:
$$
\boldsymbol{AB} = \boldsymbol{O}
$$
那么,我们能判断出来有关矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的哪些性质呢?
在本文中,荒原之梦考研数学将借助类似“俄罗斯方块”游戏中的元素,为同学们解释清楚这个问题。
二、正文 ![正文 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/af6b708862ec6f1f0c1a7ba15c2c8a66966b14f7b21c47b5e4f8ef83641698a2806027d8f837e9012a4b01e4bd72058e6fec8535f6f7060df0dd343241a8b412.svg)
§1. 原理解释
首先,如果我们将零矩阵,看成(映射为)一个刚好拼成正方形的“俄罗斯方块”,也就是如图 01 所示的这样:
并且,我们将“俄罗斯方块”中“凸出”的部分看作一个矩阵中零元素所在的部分。
那么,对于下面这个“矩阵”或者说“俄罗斯方块”而言,应该再补一个什么样的块才能变成图 01 那样的零矩阵呢?
很显然,图 02 有两个凸出部分,对于一个三层的“俄罗斯方块”而言,我们只需要再补充带有一个凸出部分的块即可,也就是下面图 03 中橙色的“俄罗斯方块”:
拼到一起就是图 04 这样的:
如果把其中凸出的部分用其他颜色表示,就是如图 05 这样:两种“俄罗斯方块”刚好互补,嵌合在一起,形成了一个方形的“俄罗斯方块”,也就是我们在本文一开始所定义的“零矩阵”:
所以,如果回到原来的问题 “$\boldsymbol{AB}$ $=$ $\boldsymbol{O}$”, 我们可以得到的结论就是,如果这里的矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 都是 $n$ 阶矩阵,那么一定有:
$$
\textcolor{springgreen}{
\boldsymbol{
r(\boldsymbol{A}) + r(\boldsymbol{B}) \leqslant n
}
}
$$
因为,只有满足上面这个式子的两个矩阵,在被我们映射为“俄罗斯方块”之后,才能保证嵌合在一起,不然的话,就会像如图 06 这两个“俄罗斯方块”一样,无法拼出来一个对应着零矩阵的方形的“俄罗斯方块”:
§2. 相关例题
题目
已知,$\boldsymbol { A }$ 和 $\boldsymbol { B }$ 都是 $n$ 阶非零矩阵,且 $\boldsymbol {A B}$ $=$ $\boldsymbol { O }$, 其中,$\boldsymbol{O}$ 表示零矩阵。
则下面关于矩阵 $\boldsymbol { A }$ 和 $\boldsymbol { B }$ 的秩的说法中,正确的是哪个?
[A]. 至少有一个等于 $0$
[B]. 一个小于 $n$, 一个等于 $n$
[C]. 都小于 $n$
[D]. 都等于 $n$
难度评级:
解析
由于矩阵 $\boldsymbol { A }$ 和矩阵 $\boldsymbol { B }$ 都是 $n$ 阶非零矩阵,所以:
$$
\textcolor{orangered}{
\begin{cases}
r ( \boldsymbol { A } ) \geqslant 1 \\
r ( \boldsymbol { B } ) \geqslant 1
\end{cases} } \tag{1}
$$
又因为:
$$
\boldsymbol { A } \boldsymbol { B } = \boldsymbol { O }
$$
所以,由荒原之梦考研数学在本文中总结的定理,可知:
$$
\textcolor{orangered}{
r ( \boldsymbol { A } ) + r ( \boldsymbol { B } ) \leqslant n } \tag{2}
$$
于是,由 $(1)$ 式和 $(2)$ 式,可知:
$$
\textcolor{springgreen}{
\boldsymbol{
\begin{cases}
r ( \boldsymbol { A } ) < n \\
r ( \boldsymbol { B } ) < n
\end{cases}
}
}
$$
综上可知,本 题 应 选 C
高等数学![箭头 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/c19692009799eac2a7eb5b9d73167ae3dd6cad169ea3ccdbeb97491b80e87593cfa7384844ec1720d0fb9cf5f00ac456f249d047b61ce2d90bdd241e042f4d89.svg)
涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容,图文并茂,计算过程清晰严谨。
线性代数![箭头 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/c19692009799eac2a7eb5b9d73167ae3dd6cad169ea3ccdbeb97491b80e87593cfa7384844ec1720d0fb9cf5f00ac456f249d047b61ce2d90bdd241e042f4d89.svg)
以独特的视角解析线性代数,让繁复的知识变得直观明了。
特别专题![箭头 - 荒原之梦](https://documents.zhaokaifeng.com/uploads/2017/06/06/c19692009799eac2a7eb5b9d73167ae3dd6cad169ea3ccdbeb97491b80e87593cfa7384844ec1720d0fb9cf5f00ac456f249d047b61ce2d90bdd241e042f4d89.svg)
通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充,使所学知识更加连贯坚实。