用“俄罗斯方块”理解两矩阵相乘得零矩阵所蕴含的规律

一、前言

如果已知 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$, 以及 $n$ 阶零矩阵 $\boldsymbol{O}$, 且下式成立：

$$
\boldsymbol{AB} = \boldsymbol{O}
$$

那么，我们能判断出来有关矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 的哪些性质呢？

在本文中，荒原之梦考研数学将借助类似“俄罗斯方块”游戏中的元素，为同学们解释清楚这个问题。

二、正文

§1. 原理解释

首先，如果我们将零矩阵，看成（映射为）一个刚好拼成正方形的“俄罗斯方块”，也就是如图 01 所示的这样：

并且，我们将“俄罗斯方块”中“凸出”的部分看作一个矩阵中零元素所在的部分。

那么，对于下面这个“矩阵”或者说“俄罗斯方块”而言，应该再补一个什么样的块才能变成图 01 那样的零矩阵呢？

很显然，图 02 有两个凸出部分，对于一个三层的“俄罗斯方块”而言，我们只需要再补充带有一个凸出部分的块即可，也就是下面图 03 中橙色的“俄罗斯方块”：

拼到一起就是图 04 这样的：

如果把其中凸出的部分用其他颜色表示，就是如图 05 这样：两种“俄罗斯方块”刚好互补，嵌合在一起，形成了一个方形的“俄罗斯方块”，也就是我们在本文一开始所定义的“零矩阵”：

所以，如果回到原来的问题 “$\boldsymbol{AB}$ $=$ $\boldsymbol{O}$”, 我们可以得到的结论就是，如果这里的矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和矩阵 $\boldsymbol{B}$ 都是 $n$ 阶矩阵，那么一定有：

$$
\textcolor{springgreen}{
\boldsymbol{
r(\boldsymbol{A}) + r(\boldsymbol{B}) \leqslant n
}
}
$$

因为，只有满足上面这个式子的两个矩阵，在被我们映射为“俄罗斯方块”之后，才能保证嵌合在一起，不然的话，就会像如图 06 这两个“俄罗斯方块”一样，无法拼出来一个对应着零矩阵的方形的“俄罗斯方块”：

§2. 相关例题

题目

[A]. 至少有一个等于 $0$

[B]. 一个小于 $n$, 一个等于 $n$

[C]. 都小于 $n$

[D]. 都等于 $n$

难度评级：

解析

由于矩阵 $\boldsymbol { A }$ 和矩阵 $\boldsymbol { B }$ 都是 $n$ 阶非零矩阵，所以：

$$
\textcolor{orangered}{
\begin{cases}
r ( \boldsymbol { A } ) \geqslant 1 \\
r ( \boldsymbol { B } ) \geqslant 1
\end{cases} } \tag{1}
$$

又因为：

$$
\boldsymbol { A } \boldsymbol { B } = \boldsymbol { O }
$$

所以，由荒原之梦考研数学在本文中总结的定理，可知：

$$
\textcolor{orangered}{
r ( \boldsymbol { A } ) + r ( \boldsymbol { B } ) \leqslant n } \tag{2}
$$

于是，由 $(1)$ 式和 $(2)$ 式，可知：

$$
\textcolor{springgreen}{
\boldsymbol{
\begin{cases}
r ( \boldsymbol { A } ) < n \\
r ( \boldsymbol { B } ) < n
\end{cases}
}
}
$$

综上可知，本 题 应 选 C

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