2015 年研究生入学考试数学一填空题第 2 题解析

一、题目

${\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}$ $(\frac{\sin x}{1+\cos x}$ $+$ $|x|)$ $dx$ $=$__.

二、解析

本题存在（关于原点对称的）对称区间 “$[-\frac{\pi }{2}$, $\frac{\pi }{2}]$”, 在求积分的时候，如果看到这样的对称区间，则要考虑被积函数是不是奇函数或者偶函数。如果是奇函数，则其在对称区间上的积分为 $0$, 如果是偶函数，则我们可以只计算其大于 $0$ 或者小于 $0$ 方向上的积分，之后再乘以 $2$ 即可获得整个积分区间上的积分数值。

由于：

$\frac{\sin (-x)}{1+\cos (-x)}$ $=$ $\frac{-\sin x}{1+\cos x}$ $\Rightarrow$ $f(-x)$ $=$ $-f(x)$.

因此，$f(x)$ $=$ $\frac{\sin x}{1+\cos x}$ 是一个奇函数，因此，其在对称区间 $[-\frac{\pi }{2}$, $\frac{\pi }{2}]$ 上的积分为 $0$.

又由于：

$|-x|$ $=$ $|x|$ $\Rightarrow$ $g(-x)$ $=$ $g(x)$.

因此，$g(x)$ $=$ $|x|$ 是一个偶函数。

于是：

原式 $=$ ${\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}$ $|x|$ $dx$ $=$ $2$ ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}$ $x$ $dx$ $=$ $2$ $\cdot$ $\frac{1}{2}{x}^2{|}_0^{\frac{\pi }{2}}$ $=$ $\frac{{\pi }^2}{4}$.

当然，本题除了可以使用积分的原理计算之外，还可以画图计算面积，如图 1：

根据上图，我们有：

$\frac{\pi }{2}$ $\cdot$ $\frac{\pi }{2}$ $\cdot$ $\frac{1}{2}$ $\cdot$ $2$ $=$ $\frac{{\pi }^2}{4}$.

综上可知，本题的正确答案是：$\frac{{\pi }^2}{4}$.

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