这个无穷小到底有多小？

一、题目

难度评级：

二、解析

第一步计算

已知：

$$\begin{array}{rl}\sin x& =x–\frac{1}{6}{x}^3+o(x^3)\\ \\ \tan x& =x+\frac{1}{3}{x}^3+o(x^3)\end{array}$$

于是：

$$\begin{array}{rl}& \tan (\sin x)–\sin (\tan x)\\ & =[\sin x+\frac{1}{3}{\sin }^{3}x]–[\tan x–\frac{1}{6}{\tan }^{3}x]+o(x^3)\\ \\ & =[\sin x+\frac{1}{3}{x}^3]–[\tan x–\frac{1}{6}{x}^3]+o(x^3)\\ \\ & =[\left(x–\frac{1}{6}{x}^3\right)+\frac{1}{3}{x}^3]–\left[(x+\frac{1}{3}{x}^3)–\frac{1}{6}{x}^3\right]+o(x^3)\\ \\ & =x–\frac{1}{6}{x}^3+\frac{1}{3}{x}^3–x–\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{6}{x}^3+o(x^3)\\ \\ & =\mathit{o}\mathbf{(}{\mathit{x}}^{\mathbf{3}}\mathbf{)}\end{array}$$

由上面的计算，我们可以判断出，$\tan (\sin x)$ $-$ $\sin (\tan x)$ 是比 $\underset{n\to 0}{lim}{x}^3$ 更高阶的无穷小。

第二步计算

Note

通过上面一步的计算，我们可以判断出，$\underset{n\to 0}{lim}$ $\tan (\sin x)$ $-$ $\sin (\tan x)$ 至少是比 $\underset{n\to 0}{lim}x$ 高四阶的无穷小，为了确定其具体阶数，我们还需要更多项的麦克劳林公式，进行更精确的计算。

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已知：

$$\begin{array}{rl}\sin x& =x–\frac{1}{6}{x}^3+\frac{1}{120}{x}^5+o(x^5)\\ \\ \tan x& =x+\frac{1}{3}{x}^3+\frac{2}{15}{x}^5+o(x^5)\end{array}$$

于是：

$$\begin{array}{rl}& \tan (\sin x)–\sin (\tan x)\\ & =[\sin x+\frac{1}{3}{\sin }^{3}x+\frac{2}{15}{\sin }^{5}x]–[\tan x–\frac{1}{6}{\tan }^{3}x+\frac{1}{120}{\tan }^{5}x]+o(x^5)\\ \\ & =[\sin x+\frac{1}{3}{x}^3+\frac{2}{15}{x}^5]–[\tan x–\frac{1}{6}{x}^3+\frac{1}{120}{x}^5]+o(x^5)\\ \\ & =[\left(x–\frac{1}{6}{x}^3\right)+\frac{1}{3}{x}^3+\frac{2}{15}{x}^5]–[(x+\frac{1}{3}{x}^3)–\frac{1}{6}{x}^3+\frac{1}{120}{x}^5]+o(x^5)\\ \\ & =x–\frac{1}{6}{x}^3+\frac{1}{3}{x}^3+\frac{2}{15}{x}^5–x–\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{6}{x}^3–\frac{1}{120}{x}^5+o(x^5)\\ \\ & =\frac{\mathbf{3}}{\mathbf{24}}{\mathit{x}}^{\mathbf{5}}\mathbf{+}\mathit{o}\mathbf{(}{\mathit{x}}^{\mathbf{5}}\mathbf{)}\end{array}$$

由上面的计算条件下，我们可以判断出，$\tan (\sin x)$ $-$ $\sin (\tan x)$ 是 $\underset{n\to 0}{lim}{x}^5$ 的同阶无穷小。

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