这个无穷小到底有多小？

一、题目

难度评级：

二、解析

第一步计算

已知：

$$
\begin{aligned}
\sin x & = x – \frac{1}{6} x ^{ 3 } + o(x ^{ 3 }) \\ \\
\tan x & = x + \frac{1}{3} x ^{ 3 } + o(x ^{ 3 })
\end{aligned}
$$

于是：

$$
\begin{aligned}
& \tan (\sin x) – \sin (\tan x) \\
& = \left[ \sin x + \frac{1}{3} \textcolor{yellow}{\sin ^{ 3 } x} \right] – \left[ \tan x – \frac{1}{6} \textcolor{yellow}{\tan ^{ 3 } x } \right] + o (x ^{ 3 }) \\ \\
& = \left[ \sin x + \frac{1}{3} \textcolor{yellow}{ x ^{ 3 } } \right] – \left[ \tan x – \frac{1}{6} \textcolor{yellow}{ x ^{ 3 } } \right] + o (x ^{ 3 }) \\ \\
& = \left[ \left( x – \frac{1}{6} x ^{ 3 } \right) + \frac{1}{3} \textcolor{yellow}{ x ^{ 3 } } \right] – \left[ \left( x + \frac{1}{3} x ^{ 3 } \right) – \frac{1}{6} \textcolor{yellow}{ x ^{ 3 } } \right] + o(x ^{ 3 }) \\ \\
& = x – \frac{1}{6} x ^{ 3 } + \frac{1}{3} \textcolor{yellow}{ x ^{ 3 } } – x – \frac{1}{3} x ^{ 3 } + \frac{1}{6} \textcolor{yellow}{ x ^{ 3 } } + o(x ^{ 3 }) \\ \\
& = \textcolor{green}{\boldsymbol{ o(x ^{ 3 }) }}
\end{aligned}
$$

由上面的计算，我们可以判断出，$\tan (\sin x)$ $-$ $\sin (\tan x)$ 是比 $\lim_{n \rightarrow 0} x ^{ 3 }$ 更高阶的无穷小。

第二步计算

Note

通过上面一步的计算，我们可以判断出，$\lim_{n \rightarrow 0}$ $\tan (\sin x)$ $-$ $\sin (\tan x)$ 至少是比 $\lim_{n \rightarrow 0} x$ 高四阶的无穷小，为了确定其具体阶数，我们还需要更多项的麦克劳林公式，进行更精确的计算。

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已知：

$$
\begin{aligned}
\sin x & = x – \frac{1}{6} x ^{ 3 } + \textcolor{red}{ \frac{1}{120} x^{5} } + o(x ^{ 5 }) \\ \\
\tan x & = x + \frac{1}{3} x ^{ 3 } + \textcolor{red}{ \frac{2}{15} x ^{ 5 } } + o(x ^{ 5 })
\end{aligned}
$$

于是：

$$
\begin{aligned}
& \tan (\sin x) – \sin (\tan x) \\
& = \left[ \sin x + \frac{1}{3} \textcolor{yellow}{\sin ^{ 3 } x} + \frac{2}{15} \textcolor{yellow}{ \sin ^{5} x } \right] – \left[ \tan x – \frac{1}{6} \textcolor{yellow}{\tan ^{ 3 } x } + \frac{1}{120} \tan ^{ 5 } x \right] + o (x ^{ 5 }) \\ \\
& = \left[ \sin x + \frac{1}{3} \textcolor{yellow}{ x ^{ 3 } } + \frac{2}{15} \textcolor{yellow}{ x ^{ 5 } } \right] – \left[ \tan x – \frac{1}{6} \textcolor{yellow}{ x ^{ 3 } } + \frac{1}{120} \textcolor{yellow}{ x ^{ 5 } } \right] + o (x ^{ 5 }) \\ \\
& = \left[ \left( x – \frac{1}{6} x ^{ 3 } \right) + \frac{1}{3} \textcolor{yellow}{ x ^{ 3 } } + \frac{2}{15} \textcolor{yellow}{ x ^{ 5 } } \right] – \left[ \left( x + \frac{1}{3} x ^{ 3 } \right) – \frac{1}{6} \textcolor{yellow}{ x ^{ 3 } } + \frac{1}{120} \textcolor{yellow}{ x ^{ 5 } } \right] + o(x ^{ 5 }) \\ \\
& = x – \frac{1}{6} x ^{ 3 } + \frac{1}{3} \textcolor{yellow}{ x ^{ 3 } } + \frac{2}{15} \textcolor{yellow}{ x ^{ 5 } } – x – \frac{1}{3} x ^{ 3 } + \frac{1}{6} \textcolor{yellow}{ x ^{ 3 } } – \frac{1}{120} \textcolor{yellow}{ x ^{ 5 } } + o(x ^{ 5 }) \\ \\
& = \textcolor{green}{\boldsymbol{ \frac{3}{24} x ^{ 5 } + o(x ^{ 5 }) }}
\end{aligned}
$$

由上面的计算条件下，我们可以判断出，$\tan (\sin x)$ $-$ $\sin (\tan x)$ 是 $\lim_{n \rightarrow 0} x ^{ 5 }$ 的同阶无穷小。

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