2017 年研究生入学考试数学一填空题第 2 题解析

一、题目

微分方程 $y”$ $+$ $2y^{\prime }$ $+$ $3y$ $=$ $0$ 的通解为__.

二、解析

观察可知，这是一个二阶常系数线性齐次微分方程。

二阶常系数线性齐次微分方程的性质如下：

形如 $y”$ $+$ $p{y}^{\prime }$ $+$ $qy$ $=$ $0$, 其中 $p$, $q$ 均为常数。

特征方程为：${\lambda }^2$ $+$ $p$ $\lambda$ $+$ $q$ $=$ $0$,

(1) 当 ${\lambda }_1$, ${\lambda }_2$ 为互异实根时，微分方程得通解为 $y(x)$ $=$ $C_1$ $e^{{\lambda }_{1}x}$ $+$ $C_2$ $e^{{\lambda }_{2}x}$;

(2) 当 ${\lambda }_1$ $=$ ${\lambda }_2$ 时，通解为 $y(x)$ $=$ $(C_1+C_{2}x)$ $e^{{\lambda }_{1}x}$;

(3) 当 $\lambda$ $=$ $\alpha$ $\pm$ $i$ $\beta$ （复数根）时，通解为 $y(x)$ $=$ $e^{\alpha x}$ $(C_1$ $\cos \beta$ $x$ $+$ $C_2$ $\sin \beta$ $x)$.

在本题中，特征方程中的 $p$ $=$ $2$, $q$ $=$ $3$, 因此特征方程为：

${\lambda }^2$ $+$ $2$ $\lambda$ $+$ $3$ $=$ $0$. (1)

此外，我们还知道，对于形如 $a$ $x^2$ $+$ $bx$ $+$ $c$ $=0$ 的一元二次方程，其求根公式为：

$x$ $=$ $\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.

于是，我们知道，对于 (1) 式：

$\lambda$ $=$ $\frac{-2\pm \sqrt{4-12}}{2}$ $=$ $\frac{-2\pm \sqrt{-8}}{2}$. (2)

我们又知道，在虚数中（复数包含虚数和实数），虚数单位 $i$ 有如下性质：

$i^2$ $=$ $-1$.

于是，(2) 式可以写成：

$\lambda$ $=$ $\frac{-2\pm \sqrt{8i^2}}{2}$ $=$ $\frac{-2\pm i2\sqrt{2}}{2}$ $=$ $-1$ $\pm$ $i$ $\sqrt{2}$.

于是，$\alpha$ $=$ $-1$, $\beta$ $=$ $\sqrt{2}$.

因此，正确答案是：

$y$ $=$ $e^{-x}$ $(C_1$ $\cos \sqrt{2}x$ $+$ $C_2$ $\sin \sqrt{2}$ $x$ $)$

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