怎么判断要寻找逆矩阵呢？

一、题目

已知 $\mathit{A}$, $\mathit{B}$ 和 $\mathit{C}$ 均为 $n$ 阶矩阵，$\mathit{E}$ 为 $n$ 阶单位矩阵，若 $\mathit{B}$ $=$ $\mathit{E}$ $+$ $\mathit{A}\mathit{B}$, $\mathit{C}$ $=$ $\mathit{A}$ $+$ $\mathit{C}\mathit{A}$, 则：

$$\mathit{B}–\mathit{C}=?$$

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二、解析

所以，接下来，我们首先考虑对题目中已知条件进行变形。

$$\begin{array}{rl}C& =A+CA\\ & \Rightarrow C–CA=A\\ & \Rightarrow C(E-A)=A\end{array}$$

那么，如果矩阵 $E-A$ 可逆的话，就有：

$$C=A(E-A{)}^{-1}$$

但是，矩阵 $E-A$ 是否可逆呢？这就需要我们从本题的另一个已知条件找结论了：

$$\begin{array}{rl}B& =E+AB\\ & \Rightarrow EB–AB=E\\ & \Rightarrow (E–A)B=E\end{array}$$

由于矩阵 $B$ 可你，因此，由上式可知，矩阵 $E–A$ 也是可逆矩阵，所以下式成立：

$$C=A(E-A{)}^{-1}$$

且：

$$\begin{array}{rl}B& =(E-A{)}^{-1}E\\ & =E(E-A{)}^{-1}\end{array}$$

综上，我们有：

$$\begin{array}{r}B–A\\ & =E(E–A{)}^{-1}–A(E-A{)}^{-1}\\ & =(E–A)(E–A{)}^{-1}\\ & =\mathit{E}\end{array}$$

综上可知，本 题 应 选 B