一、题目
已知 $\boldsymbol { A }$, $\boldsymbol { B }$ 和 $\boldsymbol { C }$ 均为 $n$ 阶矩阵，$\boldsymbol { E }$ 为 $n$ 阶单位矩阵，若 $\boldsymbol { B }$ $=$ $\boldsymbol { E }$ $+$ $\boldsymbol { A } \boldsymbol { B }$, $\boldsymbol { C }$ $=$ $\boldsymbol { A }$ $+$ $\boldsymbol { C A }$, 则：
$$
\boldsymbol { B } – \boldsymbol { C } = ?
$$
(A) $- \boldsymbol { E }$
(B) $\boldsymbol { E }$
(C) $\boldsymbol { A }$
(D) $- \boldsymbol { A }$
难度评级：
二、解析 
首先直接将题目已知条件代入 $B$ $-$ $C$ 是不方便计算的。
同时，类似于《对于抽象矩阵逆矩阵的求解，一定要想方设法引入“矩阵乘法”》这篇文章，在对抽象矩阵进行计算的时候，我们主要的思路就是尝试引入更多的乘法运算，因为抽象矩阵的乘法运算能用的公式和性质比较多。
所以，接下来，我们首先考虑对题目中已知条件进行变形。
$$
\begin{aligned}
C & = A + CA \\
& \Rightarrow C – CA = A \\
& \Rightarrow C(E-A) = A
\end{aligned}
$$
那么，如果矩阵 $E-A$ 可逆的话，就有：
$$
C = A(E-A)^{-1}
$$
但是，矩阵 $E-A$ 是否可逆呢？这就需要我们从本题的另一个已知条件找结论了：
$$
\begin{aligned}
B & = E + AB \\
& \Rightarrow EB – AB = E \\
& \Rightarrow (E – A) B = E
\end{aligned}
$$
由于矩阵 $B$ 可你，因此，由上式可知，矩阵 $E – A$ 也是可逆矩阵，所以下式成立：
$$
\textcolor{springgreen}{
C = A(E-A)^{-1}
}
$$
且：
$$
\textcolor{springgreen}{
\begin{aligned}
B & = (E-A)^{-1} E \\
& = E (E-A)^{-1}
\end{aligned}
}
$$
综上，我们有：
$$
\begin{aligned}
B – A \\
& = E(E – A)^{-1} – A(E-A)^{-1} \\
& = (E – A) (E – A)^{-1} \\
& = \textcolor{green}{\boldsymbol{E}}
\end{aligned}
$$
综上可知，本 题 应 选 B 