有些式子虽然带着 “f”, 但有可能要看作常数处理

一、题目

难度评级：

二、解析

Note

为了让运算过程看上去更加简洁，下面的步骤都省略了 “$\underset{x\to a}{lim}$”.

zhaokaifeng.com

首先，对原式中的减法运算进行同分：

$$\frac{f^{\prime }(a)(x-a)–f(x)+f(a)}{[f(x)–f(a)]f^{\prime }(a)(x-a)}$$

整理，得：

$$\frac{x{f}^{\prime }(a)–a{f}^{\prime }(a)–f(x)+f(a)}{[f(x)–f(a)]\mathbf{\cdot }{f}^{\prime }(a)(x–a)}$$

Important

上式中用春绿色标记的部分在求导的时候，都要看作常数处理。

zhaokaifeng.com

分析可知，当 $x\to a$ 的时候，上面的式子是 “$\frac{0}{0}$” 的形式，因此，考虑进行洛必达运算：

$$\frac{f^{\prime }(a)–f^{\prime }(x)}{f^{\prime }(x)f^{\prime }(a)(x-a)\mathbf{+}[f(x)–f(a)]f^{\prime }(a)}\Rightarrow$$

整理，得：

$$\frac{f^{\prime }(a)–f^{\prime }(x)}{f^{\prime }(a)[f^{\prime }(x)(x-a)+f(x)–f(a)]}$$

分子分母同时除以 $x-a$, 得（注意下式中的 负 号 ）：

$$\frac{\mathbf{-}\frac{f^{\prime }(x)–f^{\prime }(a)}{x-a}}{f^{\prime }(a)[f^{\prime }(x)+\frac{f(x)–f(a)}{x-a}]}$$

进而，可得：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \frac{\mathbf{-}{f}^{\prime \prime }(a)}{f^{\prime }(a)[{\mathit{f}}^{\mathit{\prime }}\mathbf{(}\mathit{x}\mathbf{)}+f^{\prime }(a)]}\end{array}$$

又因为函数 $f(x)$ 在 $x=a$ 处的二阶导存在，所以，一阶导 $f^{\prime }(x)$ 在 $x=a$ 处一定连续，即：

$$\underset{x\to a}{lim}{\mathit{f}}^{\mathit{\prime }}\mathbf{(}\mathit{x}\mathbf{)}={\mathit{f}}^{\mathit{\prime }}\mathbf{(}\mathit{a}\mathbf{)}$$

所以，由 $(1)$ 式，可得：

$$\frac{\mathbf{-}{f}^{\prime \prime }(a)}{f^{\prime }(a)[{\mathit{f}}^{\mathit{\prime }}\mathbf{(}\mathit{a}\mathbf{)}+f^{\prime }(a)]}=\frac{\mathbf{-}{\mathit{f}}^{\mathit{\prime }\mathit{\prime }}\mathbf{(}\mathit{a}\mathbf{)}}{\mathbf{2}{\mathit{f}}^{\mathit{\prime }\mathbf{2}}\mathbf{(}\mathit{a}\mathbf{)}}$$

---