有些式子虽然带着 “f”, 但有可能要看作常数处理

一、题目

难度评级：

二、解析

Note

为了让运算过程看上去更加简洁，下面的步骤都省略了 “$\lim _ { x \rightarrow a }$”.

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首先，对原式中的减法运算进行同分：

$$
\frac{f^{\prime}(a) (x-a) – f(x) + f(a)}{[f(x) – f(a)] f^{\prime}(a) (x-a)}
$$

整理，得：

$$
\frac{x \textcolor{springgreen}{f^{\prime}(a)} – \textcolor{springgreen}{a f^{\prime}(a)} – f(x) + \textcolor{springgreen}{f(a)} }{[f(x) – \textcolor{springgreen}{f(a)} ] \textcolor{orangered}{\boldsymbol{\cdot}} \textcolor{springgreen}{f^{\prime}(a)} (x – \textcolor{springgreen}{a})}
$$

Important

上式中用春绿色标记的部分在求导的时候，都要看作常数处理。

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分析可知，当 $x \rightarrow a$ 的时候，上面的式子是 “$\frac{0}{0}$” 的形式，因此，考虑进行洛必达运算：

$$
\frac{f^{\prime}(a) – f^{\prime}(x)}{f^{\prime}(x) f^{\prime}(a) (x-a) \textcolor{orangered}{\boldsymbol{+}} [f(x) – f(a)]f^{\prime}(a)} \Rightarrow
$$

整理，得：

$$
\frac{f^{\prime}(a) – f^{\prime}(x)}{ f^{\prime}(a) [f^{\prime}(x)(x-a) + f(x) – f(a)]}
$$

分子分母同时除以 $x-a$, 得（注意下式中的 负 号 ）：

$$
\frac{\textcolor{orangered}{\boldsymbol{-}} \frac{f^{\prime}(x) – f^{\prime}(a)}{x-a}}{ f^{\prime}(a) \left[f^{\prime}(x) + \frac{f(x) – f(a)}{x-a} \right]}
$$

进而，可得：

$$
\frac{\textcolor{orangered}{\boldsymbol{-}} f^{\prime \prime}(a)}{f^{\prime}(a) [\textcolor{orangered}{\boldsymbol{f^{\prime}(x)}} + f^{\prime}(a)]} \tag{1}
$$

又因为函数 $f(x)$ 在 $x = a$ 处的二阶导存在，所以，一阶导 $f^{\prime}(x)$ 在 $x = a$ 处一定连续，即：

$$
\lim_{x \rightarrow a} \textcolor{orangered}{\boldsymbol{f^{\prime}(x)}} = \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{f^{\prime}(a)}}
$$

所以，由 $(1)$ 式，可得：

$$
\frac{\textcolor{orangered}{\boldsymbol{-}} f^{\prime \prime}(a)}{f^{\prime}(a) [\textcolor{springgreen}{\boldsymbol{f^{\prime}(a)}} + f^{\prime}(a)]} = \textcolor{green}{\boldsymbol{\frac{\textcolor{orangered}{\boldsymbol{-}} f^{\prime \prime} (a)}{2f^{\prime 2} (a)}}}
$$

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