求导不会改变函数周期，但如果自变量变了那就不一定了

一、题目

难度评级：

二、解析

由于求导不会改变函数的周期，因此：

由于对自变量加上或者减去一个常数，只会改变函数图象的相对位置，而不会改变函数的周期，因此：

如果令 $ax=k$, 则 $f(k)$ 与 $f(x)$ 的函数周期相同，都是 $T$, 即：

$$\begin{array}{r}ax=k\rightleftarrows T\\ \\ & \Rightarrow x=\frac{k}{a}\rightleftarrows \frac{T}{a}\end{array}$$

因此，$f(ax)$ 相对于自变量 $x$ 的周期为：

$$\frac{T}{|a|}$$

由于函数周期一般用正数表示，因此，上面的周期表达式中对 $a$ 加上了绝对值符号。

也就是说，$f(ax+b)$ 相对于自变量 $x$ 的周期为：

$$\frac{T}{|a|}$$

同时，也就是说，$f^{\prime }(ax+b)$ 相对于自变量 $x$ 的周期为：

$$\frac{\mathit{T}}{\mathbf{|}\mathit{a}\mathbf{|}}$$

综上可知，本 题 应 选 C