有些无穷小虽然是无穷小，但却不能用无穷小的相关公式

一、题目

难度评级：

二、解析

错误的解法

根据拉格朗日中值定理，我们有：

$$
\frac { \cos 2 x – \cos x } { 2 x – x } = ( \cos \xi ) ^ { \prime } \Rightarrow
$$

$$
\cos 2 x – \cos x = – x \sin \xi
$$

其中，$\varepsilon \in ( x , 2 x )$.

虽然，当 $x \rightarrow 0$ 的时候，会有：

$$
\xi \rightarrow 0
$$

但是，下面的计算却是错误的：

$$
I = \frac { – x \sin \xi } { x ^ { 2 } } = \frac { – \sin \xi } { x } = – 1
$$

上面的计算之所以错误，就是因为 $\xi$ 其实是属于一个区间 $(x, 2x)$ 的，虽然这个区间很小，但是，我们不能否认的是，这仍然是一个区间，因此，$\xi$ 的可能取值其实就是不确定的。

例如，当 $\xi$ $\rightarrow$ $x$ $\rightarrow$ $0$ 的时候，我们有：

$$
\frac { – \sin \xi } { x } = \frac { – x } { x } = \textcolor{orangered}{ \large{- 1} }
$$

但是，如果我们有 $\xi$ $\rightarrow$ $2 x$ $\rightarrow$ $0$, 则有：

$$
\frac { – \sin \xi } { x } = \frac { – \sin 2 x } { x } = \frac { – 2 x } { x } = \textcolor{orangered}{\large{- 2}}
$$

当然，$\xi$ 在区间 $(x, 2x)$ 内的可能的取值还有很多，因此，我们是没办法利用等价无穷小的性质，确定当 $x \rightarrow 0$ 的时候，式子 $\frac { – \sin \xi } { x }$ 的取值是多少。

Warning

因此，只有严格且直接地趋向于 $0$ 这个数字的无穷小才能用等价无穷小公式，如果是通过趋于一个趋向于 $0$ 的区间而趋向于 $0$ 的无穷小，一般是不能使用等价无穷小公示的。

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正确的解法一

Note

该解法使用了泰勒公式，有关泰勒公式的内容可以查阅荒原之梦考研数学的这篇文章。

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$$
\begin{aligned}
I \\
& = \lim _{ x \rightarrow 0 } \frac { 1 – \frac { 1 } { 2 ! } ( 2 x ) ^ { 2 } – \left( 1 – \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } \right) } { x ^ { 2 } } \\ \\
& = \lim _{ x \rightarrow 0 } \frac { – 2 x ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } } { x ^ { 2 } } \\ \\
& = \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{\frac { – 3 } { 2 }}}
\end{aligned}
$$

正确的解法二

Note

该解法利用了三角函数的二倍角公式。同时，在计算过程中还使用了“十字相乘法”，有关十字相乘法的内容，可以查看荒原之梦考研数学的这篇文章。

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$$
\begin{aligned}
I \\
& = \lim _{ x \rightarrow 0 } \frac { \textcolor{orangered}{\cos 2 x} – \cos x } { x ^ { 2 } } \\ \\
& = \lim _{ x \rightarrow 0 } \frac { \textcolor{orangered}{2 \cos ^ { 2 } x – 1} – \cos x } { x ^ { 2 } } \\ \\
& = \lim _{ x \rightarrow 0 } \frac { 2 \cos ^ { 2 } x – \cos x – 1 } { x ^ { 2 } } \\ \\
& = \lim _{ x \rightarrow 0 } \frac { ( 2 \cos x + 1 ) ( \cos x – 1 ) } { x ^ { 2 } } \\ \\
& = \lim _{ x \rightarrow 0 } \frac { ( 2 \cos x + 1 ) \cdot \frac { – 1 } { 2 } x ^ { 2 } } { x ^ { 2 } } \\ \\
& = \frac { – 1 } { 2 } \lim _{ x \rightarrow 0 } \frac { 2 \cos x + 1 } { 1 } \\ \\
& = \frac { – 1 } { 2 } \lim _{ x \rightarrow 0 } \frac { 2 + 1 } { 1 } \\ \\
& = \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{\frac { – 3 } { 2 }}}
\end{aligned}
$$

正确的解法三

Note

该解法利用了和差化积公式，有关三角函数和差化积以及积化和差公式的内容，可以查看荒原之梦考研数学的这篇文章——

这篇文章中还提供了一个方法帮助大家记忆文中涉及的八个公式。

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$$
\begin{aligned}
I \\ \\
& = \lim _{ x \rightarrow 0 } \frac { \cos 2 x – \cos x } { x ^ { 2 } } = \\ \\
& = \lim _{ x \rightarrow 0 } \frac { – 2 \sin \frac { 2 x + x } { 2 } \sin \frac { 2 x – x } { 2 } } { x ^ { 2 } } \\ \\
& = \lim _{ x \rightarrow 0 } \frac { – 2 \cdot \frac { 3 x } { 2 } \cdot \frac { x } { 2 } } { x ^ { 2 } } \\ \\
& = \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{\frac { – 3 } { 2 }}}
\end{aligned}
$$

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