有些无穷小虽然是无穷小，但却不能用无穷小的相关公式

一、题目

难度评级：

二、解析

错误的解法

根据拉格朗日中值定理，我们有：

$$\frac{\cos 2x–\cos x}{2x–x}=(\cos \xi {)}^{\prime }\Rightarrow$$

$$\cos 2x–\cos x=–x\sin \xi$$

其中，$\epsilon \in (x,2x)$.

虽然，当 $x\to 0$ 的时候，会有：

$$\xi \to 0$$

但是，下面的计算却是错误的：

$$I=\frac{–x\sin \xi }{x^2}=\frac{–\sin \xi }{x}=–1$$

上面的计算之所以错误，就是因为 $\xi$ 其实是属于一个区间 $(x,2x)$ 的，虽然这个区间很小，但是，我们不能否认的是，这仍然是一个区间，因此，$\xi$ 的可能取值其实就是不确定的。

例如，当 $\xi$ $\to$ $x$ $\to$ $0$ 的时候，我们有：

$$\frac{–\sin \xi }{x}=\frac{–x}{x}=-1$$

但是，如果我们有 $\xi$ $\to$ $2x$ $\to$ $0$, 则有：

$$\frac{–\sin \xi }{x}=\frac{–\sin 2x}{x}=\frac{–2x}{x}=-2$$

当然，$\xi$ 在区间 $(x,2x)$ 内的可能的取值还有很多，因此，我们是没办法利用等价无穷小的性质，确定当 $x\to 0$ 的时候，式子 $\frac{–\sin \xi }{x}$ 的取值是多少。

Warning

因此，只有严格且直接地趋向于 $0$ 这个数字的无穷小才能用等价无穷小公式，如果是通过趋于一个趋向于 $0$ 的区间而趋向于 $0$ 的无穷小，一般是不能使用等价无穷小公示的。

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正确的解法一

Note

该解法使用了泰勒公式，有关泰勒公式的内容可以查阅荒原之梦考研数学的这篇文章。

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$$\begin{array}{r}I\\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{1–\frac{1}{2!}(2x{)}^2–\left(1–\frac{1}{2}{x}^2\right)}{x^2}\\ \\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{–2x^2+\frac{1}{2}{x}^2}{x^2}\\ \\ & =\frac{–\mathbf{3}}{\mathbf{2}}\end{array}$$

正确的解法二

Note

该解法利用了三角函数的二倍角公式。同时，在计算过程中还使用了“十字相乘法”，有关十字相乘法的内容，可以查看荒原之梦考研数学的这篇文章。

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$$\begin{array}{r}I\\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{\cos 2x–\cos x}{x^2}\\ \\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{2{\cos }^{2}x–1–\cos x}{x^2}\\ \\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{2{\cos }^{2}x–\cos x–1}{x^2}\\ \\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{(2\cos x+1)(\cos x–1)}{x^2}\\ \\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{(2\cos x+1)\cdot \frac{–1}{2}{x}^2}{x^2}\\ \\ & =\frac{–1}{2}\underset{x\to 0}{lim}\frac{2\cos x+1}{1}\\ \\ & =\frac{–1}{2}\underset{x\to 0}{lim}\frac{2+1}{1}\\ \\ & =\frac{–\mathbf{3}}{\mathbf{2}}\end{array}$$

正确的解法三

Note

该解法利用了和差化积公式，有关三角函数和差化积以及积化和差公式的内容，可以查看荒原之梦考研数学的这篇文章——

这篇文章中还提供了一个方法帮助大家记忆文中涉及的八个公式。

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$$\begin{array}{r}I\\ \\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{\cos 2x–\cos x}{x^2}=\\ \\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{–2\sin \frac{2x+x}{2}\sin \frac{2x–x}{2}}{x^2}\\ \\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{–2\cdot \frac{3x}{2}\cdot \frac{x}{2}}{x^2}\\ \\ & =\frac{–\mathbf{3}}{\mathbf{2}}\end{array}$$

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