2015 年研究生入学考试数学一填空题第 6 题解析

一、题目

设二维随机变量$(X,Y)$ 服从正态分布 $N(1,0;1,1;0),P\{XY-Y<0\}=$____.

二、解析

解答本题需要掌握正态分布和二维正态分布两部分知识。

1. 正态分布

正态分布通常用下面的公式表示：

$$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2).$$

其中 $\mu$ 表示数学期望（或称“均数”），${\sigma }^2$ 表示方差，$\sigma$ 表示标准差。

参数 $\mu$ 决定了正态分布的分布图像在坐标系中的位置，正态分布的图像以 $x$ $=$ $\mu$ 为对称轴，左右完全对称。在正态分布中，数学期望 $=$ 均数 $=$ 中位数 $=$ 众数 $=$ $\mu .$

参数 ${\sigma }^2$ 决定了正态分布中随机变量的离散程度，$\sigma$ 越小，数据就越集中，反之，若 $\sigma$ 越大，数据就越集中。反应在正态分布的图像中就是，当 $\sigma$ 越小的时候，正态分布的图像越窄高，$\sigma$ 越大的时候，正态分布的图像越扁平。

正态分布的图像在 $(\mu –\sigma ,\mu +\sigma )$ 区间内存在拐点，拐点附近的形状上表现为中间高两边低的特点。

特别地，$X\sim N(0,1)$ 为标准正态分布，其分布图象关于 $y$ 轴对称。

如图 1 是几种不同的正态分布图像，反映了参数 $\mu$ 和 $\sigma$ 对正态分布图像的影响，其中红色线表示的为标准正态分布：

2. 二维正态分布

二维正态分布可记作如下形式：

$(X,Y)$ $\sim$ $N({\mu }_1,{\mu }_2;{\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2;\rho ).$

在本题中，需要用到关于二维正态分布的如下两个性质：

① $X$ $\sim$ $N({\mu }_1,{\sigma }_1^2)$; $Y$ $\sim N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$;

② $X$ 与 $Y$ 独立的充要条件是 $\rho =0.$ 我们可以使用如下 MATLAB 代码绘制二维正态分布条件概率密度函数图像：

x=-5:0.01:5;
y=-5:0.01:5;
mu=[-1,2];
sigma=[1 1; 1 3]; %输入均值向量和协方差矩阵,可以根据需要修改
[X,Y]=meshgrid(x,y); %产生网格数据并处理
p=mvnpdf([X(:),Y(:)],mu,sigma);
P=reshape(p,size(X)); %求取联合概率密度
figure(2)
surf(X,Y,P)
shading interp
colorbar
title('二维正态分布条件概率密度函数图像');

我在 MATLAB R2016b 上运行上述代码得到的二维正态分布条件概率密度函数图像如图 2 所示：

关于本题所用到的知识点的介绍就到这里结束，下面是具体的做题过程。

由题可知，$\rho =0,$ 因此，$X$ 与 $Y$ 相互独立，根据“随机变量的独立性”中的定理，我们知道，这也就意味着：

$$P\{X,Y\}=P\{X\}P\{Y\}.$$

于是，我们有：

$P\{XY-Y<0\}$ $=$ $P\{Y(X-1)<0\}$ $=$ $P\{Y>0,X-1<0\}$ $+$ $P\{Y<0,X-1>0\}$ $=$ $P\{Y>0,X<1\}+P\{Y<0,X>1\}$ $=$ $P\{Y>0\}P\{X<1\}$ $+$ $P\{Y<0\}P\{X>1\}$ $=$ $\frac{1}{2}$ $\times$ $\frac{1}{2}$ $+$ $\frac{1}{2}$ $\times$ $\frac{1}{2}$ $=$ $\frac{1}{2}.$

综上可知，本题的正确答案是：$\frac{1}{2}$

EOF