证明：导函数连续则原函数一定可导

一、前言

在本文中，荒原之梦考研数学将证明“导函数连续，则原函数一定可导”这一定理。

二、正文

若函数 $f(x)$ 在某闭区间 $[a,b]$ 上连续，则其原函数可写为：

$$F(x)={\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t$$

由于被积函数 $f(t)$ 是连续的，因此，该积分函数 $F(x)$ 在区间 $x\in [a,b]$ 上一定存在。

接着，我们开始证明函数 $F(x)$ 在开区间 $(a,b)$ 上可导。

对于任意的 $x\in (a,b)$, 我们有：

$$\begin{array}{r}{F}^{\prime }(x)\\ \\ & =\underset{h\to 0}{lim}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}\\ \\ & =\underset{h\to 0}{lim}\frac{{\int }_a^{x+h}f(t)\mathrm{d}t-{\int }_a^{x}f(t)\mathrm{d}t}{h}\\ \\ & =\underset{h\to 0}{lim}\frac{{\int }_x^{x+h}f(t)\mathrm{d}t}{h}\end{array}$$

根据积分中值定理，存在 $\xi \in (x,x+h)$, 使得（此时，$\xi \to x$）：

$$\begin{array}{rl}\underset{h\to 0}{lim}\frac{{\int }_x^{x+h}f(t)\mathrm{d}t}{h}& =\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(\xi )\cdot h}{h}\\ \\ & =\underset{\begin{array}{c}h\to 0\\ \\ (\xi \to x)\end{array}}{lim}f(\xi )\\ \\ & =f(x)\end{array}$$

即：

$$F^{\prime }(x)=f(x)$$

综上，我们首先通过函数 $f(x)$ 的连续性，判断出其一定可积并存在对应的积分函数，接着，又利用一点处导数存在的定义和积分中值定理，证明了等式 $F^{\prime }(x)$ $=$ $f(x)$ 成立，因此，也就证明了“导函数连续，则原函数一定可导”这一结论。

注意将本文讨论的“导函数连续则原函数可导”，与函数本身的连续性和可导性区分开。

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