证明:导函数连续则原函数一定可导

一、前言 前言 - 荒原之梦

二、正文 正文 - 荒原之梦

若函数 f(x) 在某闭区间 [a,b] 上连续,则其原函数可写为:

F(x)=axf(t) dt

由于被积函数 f(t) 是连续的,因此,该积分函数 F(x) 在区间 x[a,b] 上一定存在。

接着,我们开始证明函数 F(x) 在开区间 (a,b) 上可导。

对于任意的 x(a,b), 我们有:

F(x)=limh0F(x+h)F(x)h=limh0ax+hf(t) dtaxf(t) dth=limh0xx+hf(t) dth

根据积分中值定理,存在 ξ(x,x+h), 使得(此时,ξx):

limh0xx+hf(t) dth=limh0f(ξ)hh=limh0(ξx)f(ξ)=f(x)

即:

F(x)=f(x)

综上,我们首先通过函数 f(x) 的连续性,判断出其一定可积并存在对应的积分函数,接着,又利用一点处导数存在的定义和积分中值定理,证明了等式 F(x) = f(x) 成立,因此,也就证明了“导函数连续,则原函数一定可导”这一结论。


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