平方为零的n阶方阵的秩为什么一定小于或等于n/2

一、前言

通过本文，我们将理解为什么对于 $n$ 阶矩阵 $A$, 如果 $A^2=O$, 则下式成立：

$$r(A)⩽\frac{n}{2}$$

二、解析

假如我们有行向量 $\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\end{array}\right]$ 与列向量 $\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right]$, 则这二者相乘可得零，因为零与非零的部分刚好抵消：

$$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right]=0$$

此时：

$$r\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\end{array}\right]+r\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right]=3$$

进一步，对于下面的向量，虽然零与非零的部分不是一对一的相互抵消，但这两个向量相乘也得零：

$$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right]=0$$

此时：

$$r\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\end{array}\right]+r\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right]=2$$

或者：

$$\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right]=0$$

此时：

$$r\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\end{array}\right]+r\left[\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right]=1$$

又或者：

$$\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right]=0$$

此时：

$$r\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\end{array}\right]+r\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right]=0$$

因此，我们可以推知，对于两个 $n$ 阶向量 $A$ 和 $B$, 若 $AB=O$, 则：

$$0⩽r(A)+r(B)⩽n$$

因此，对于 $n$ 阶向量 $A$, 若 $A^2=O$, 则：

$$0⩽r(A)+r(A)⩽n\Rightarrow$$

$$0⩽r(A)⩽\frac{n}{2}$$

上面是通过举例的方式得出了矩阵的平方为零矩阵，则对应的矩阵的秩所具有的性质。其实，我们还可以记住如下这一规律，以便于更灵活的解题：

对于一个不满秩的方阵（不可逆方阵），每进行一次自乘运算，原矩阵的秩都会减小 $1$, 直至秩为 $0$.

也就是说，如果 $A$ 为 $4$ 阶矩阵，且 $A^3=O$, 则：

*$A^3$ 的秩一定为 $0$;
**$A^2$ 的秩可能为 $1$, $0$;
***$A$ 的秩可能为 $2$, $1$, $0$.

或者：

$$\begin{array}{r}r(A^{100})⩽100\\ & \Rightarrow r(A^{99})⩽101\\ & \Rightarrow r(A^{98})⩽102\\ & \Rightarrow r(A^{97})⩽103\\ & \cdots \end{array}$$

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