平方为零的n阶方阵的秩为什么一定小于或等于n/2

一、前言 前言 - 荒原之梦

通过本文,我们将理解为什么对于 n 阶矩阵 A, 如果 A2=O, 则下式成立:

r(A)n2

二、解析 解析 - 荒原之梦

假如我们有行向量 [101] 与列向量 [010], 则这二者相乘可得零,因为零与非零的部分刚好抵消:

[101][010]=0

此时:

r[101]+r[010]=3

进一步,对于下面的向量,虽然零与非零的部分不是一对一的相互抵消,但这两个向量相乘也得零:

[100][010]=0

此时:

r[100]+r[010]=2

或者:

[000][010]=0

此时:

r[000]+r[010]=1

又或者:

[000][000]=0

此时:

r[000]+r[000]=0

因此,我们可以推知,对于两个 n 阶向量 AB, 若 AB=O, 则:

0r(A)+r(B)n

因此,对于 n 阶向量 A, 若 A2=O, 则:

0r(A)+r(A)n

0r(A)n2

上面是通过举例的方式得出了矩阵的平方为零矩阵,则对应的矩阵的秩所具有的性质。其实,我们还可以记住如下这一规律,以便于更灵活的解题:

也就是说,如果 A4 阶矩阵,且 A3=O, 则:

*A3 的秩一定为 0;
**A2 的秩可能为 1, 0;
***A 的秩可能为 2, 1, 0.

或者:

r(A100)100r(A99)101r(A98)102r(A97)103


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