在变限积分中先分清谁要被看作常数，再讨论去根号的方式

一、题目

已知 $x⩾-1$, 则 ${\int }_{-1}^x(1–|t|)\mathrm{d}t=?$

难度评级：

二、解析

首先我们要知道，在变限积分 ${\int }_{-1}^x(1–|t|)\mathrm{d}t$ 中，$t$ 是变量，而 $x$ 要被看作常数，即：

$$t\in (-1,x)$$

又因为：

$$t\in (-1,x)\Rightarrow \{\begin{array}{ll}|t|=-t,& t\in (-1,0)\\ \\ |t|=t,& t\in (0,+\mathrm{\infty })\end{array}$$

但是，这里我们需要注意的是，$x$ 本身也是有取值范围的，因此：

$$t\in (-1,x)\Rightarrow \{\begin{array}{ll}|t|=-t,& x\in (-1,0)\\ \\ |t|=t,& x\in (0,+\mathrm{\infty })\end{array}$$

综上：

$${\int }_{-1}^x(1–|t|)\mathrm{d}t=\{\begin{array}{ll}{\int }_{-1}^x(1+t)\mathrm{d}t,& x\in (-1,0)\\ \\ {\int }_{-1}^0(1+t)\mathrm{d}t+{\int }_0^x(1–t)\mathrm{d}t,& x\in (0,+\mathrm{\infty })\end{array}$$

进而：

$${\int }_{-1}^x(1–|t|)\mathrm{d}t=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}(1+t{)}^2{|}_{-1}^x,& x\in (-1,0)\\ \\ \frac{1}{2}(1+t{)}^2{|}_{-1}^0–\frac{1}{2}(1-t{)}^2{|}_0^x,& x\in (0,+\mathrm{\infty })\end{array}$$

于是：

$${\int }_{-1}^x(1–|t|)\mathrm{d}t=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}(1+x{)}^2,& x\in (-1,0)\\ \\ 1–\frac{1}{2}(1-x{)}^2,& x\in (0,+\mathrm{\infty })\end{array}$$

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