在变限积分中先分清谁要被看作常数，再讨论去根号的方式

一、题目

已知 $x \geqslant -1$, 则 $\int_{-1}^{x} (1 – |t|) \mathrm{~d} t = ?$

难度评级：

二、解析

首先我们要知道，在变限积分 $\int_{-1}^{x} (1 – |t|) \mathrm{~d} t$ 中，$t$ 是变量，而 $x$ 要被看作常数，即：

$$
t \in (-1, \ x)
$$

又因为：

$$
t \in (-1, \ x) \Rightarrow
\begin{cases}
|t| = -t, & t \in (-1, \ 0) \\ \\
|t| = t, & t \in (0, \ + \infty)
\end{cases}
$$

但是，这里我们需要注意的是，$x$ 本身也是有取值范围的，因此：

$$
t \in (-1, \ x) \Rightarrow
\begin{cases}
|t| = -t, & x \in (-1, \ 0) \\ \\
|t| = t, & x \in (0, + \ \infty)
\end{cases}
$$

综上：

$$
\int_{-1}^{x} (1 – |t|) \mathrm{~d} t = \begin{cases}
\int_{-1}^{x} (1 + t) \mathrm{~d} t, & x \in (-1, \ 0) \\ \\
\int_{-1}^{0} (1 + t) \mathrm{~d} t + \int_{0}^{x} (1 – t) \mathrm{~d} t, & x \in (0, \ + \infty)
\end{cases}
$$

进而：

$$
\int_{-1}^{x} (1 – |t|) \mathrm{~d} t = \begin{cases}
\frac{1}{2} (1+t)^{2} \Big |_{-1}^{x}, & x \in (-1, \ 0) \\ \\
\frac{1}{2} (1 + t)^{2} \Big|_{-1}^{0} – \frac{1}{2}(1-t)^{2} \Big|_{0}^{x}, & x \in (0, \ + \infty)
\end{cases}
$$

于是：

$$
\int_{-1}^{x} (1 – |t|) \mathrm{~d} t = \begin{cases}
\frac{1}{2} (1+x)^{2}, & x \in (-1, \ 0) \\ \\
1 – \frac{1}{2}(1-x)^{2}, & x \in (0, \ + \infty)
\end{cases}
$$

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