矩阵与其逆矩阵对应的特征值相乘等于 1

一、题目

设 $A$ 和 $B$ 均为 $3$ 阶矩阵，且 $A$ 的特征值为 $-1$, $0$, $3$, $AB$ $+$ $A$ $=$ $B$ $+$ $2E$, 则与矩阵 $B^{-1}+E$ 相似的对角矩阵可以是 ($$)

难度评级：

二、解析

方法一：先求出 $B^{-1}$ 的特征值

首先：

$$AB+A=B+2E\Rightarrow$$

$$AB+A–2E=B\Rightarrow \text{ 等式两端同时除以 }B\Rightarrow$$

$$A+A{B}^{-1}–2B^{-1}=E\Rightarrow$$

$$A+(A–2E)B^{-1}=E\Rightarrow$$

$$(A–2E)B^{-1}=E–A\Rightarrow$$

$$B^{-1}=(E–A)(A–2E{)}^{-1}$$

接着，由 $A$ 的特征值分别为 $-1,0,3$ 可知，$E-A$ 和 $A-2E$ 的特征值分别为：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& E-A\Rightarrow \{\begin{array}{l}1–(-1)=2\\ 1–0=1\\ 1–3=-2\end{array}\end{array}$$

$$A-2E\Rightarrow \{\begin{array}{l}-1–2=-3\\ 0–2=-2\\ 3–2=1\end{array}$$

由于矩阵与其逆矩阵对应的特征值相乘等于 $1$, 因此，矩阵 $(A–2E{)}^{-1}$ 的特征值为：

$$\begin{array}{}\text{(2)}& (A–2E{)}^{-1}\Rightarrow \{\begin{array}{l}–\frac{1}{3}\\ –\frac{1}{2}\\ 1\end{array}\end{array}$$

进而由 $B^{-1}$ $=$ $(E–A)(A–2E{)}^{-1}$ 可知，$B^{-1}$ 的特征值等于 $(1)$ 式和 $(2)$ 式对应的特征值之积：

$$B^{-1}\Rightarrow \{\begin{array}{l}2\times (-\frac{1}{3})=–\frac{2}{3}\\ 1\times (-\frac{1}{2})=–\frac{1}{2}\\ -2\times 1=–2\end{array}$$

于是可知，矩阵 $B^{-1}+E$ 的特征值为：

$$B^{-1}+E\Rightarrow \{\begin{array}{l}–\frac{2}{3}+1=\frac{1}{3}\\ –\frac{1}{2}+1=\frac{1}{2}\\ –2+1=-1\end{array}$$

又由于相似的矩阵具有相同的特征值，且矩阵 $B^{-1}+E$ 的 $3$ 个特征值各不相同，因此，矩阵 $\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{3}& & \\ & \frac{1}{2}& \\ & & -1\end{array}\right)$ 就相当于对矩阵 $B^{-1}+E$ 进行相似对角化之后得到的对角矩阵，因此，下面的矩阵一定是与矩阵 $B^{-1}+E$ 相似的对角矩阵之一：

$$\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{3}& & \\ & \frac{1}{2}& \\ & & -1\end{array}\right)$$

方法二：先求出 $B+E$ 的特征值

首先：

$$AB+A=B+2E\Rightarrow$$

$$\begin{array}{}\text{(1)}& AB+A–B–E=E\Rightarrow \end{array}$$

$$\begin{array}{}\text{(2)}& (A–E)(B+E)=E\end{array}$$

由 $(1)$ 式得到 $(2)$ 式的过程可以通过观察法，或者长除法完成。

于是：

$$B+E=(A–E{)}^{-1}$$

又由 $A$ 的特征值分别为 $-1,0,3$ 可知，$A–E$ 的特征值为：

$$\begin{array}{rl}–& 2\\ –& 1\\ & 2\end{array}$$

进而可知，$(A–E{)}^{-1}$ 的特征值，也就是 $B+E$ 的特征值为：

$$\begin{array}{rl}–& \frac{1}{2}\\ –& 1\\ & \frac{1}{2}\end{array}$$

于是可知，$B$ 的特征值为：

$$\begin{array}{rl}–& \frac{3}{2}\\ –& 2\\ –& \frac{1}{2}\end{array}$$

$B^{-1}$ 的特征值为：

$$\begin{array}{rl}–& \frac{2}{3}\\ –& \frac{1}{2}\\ –& 2\end{array}$$

$B^{-1}+E$ 的特征值为：

$$\begin{array}{rl}& \frac{1}{3}\\ & \frac{1}{2}\\ –& 1\end{array}$$

因此，同样根据方法一中的分析可知，题目要求解的对角矩阵为：

$$\left[\begin{array}{ccc}\frac{1}{3}& & \\ & \frac{1}{2}& \\ & & -1\end{array}\right]$$

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