矩阵与其逆矩阵对应的特征值相乘等于 1

一、题目

设 $A$ 和 $B$ 均为 $3$ 阶矩阵，且 $A$ 的特征值为 $-1$, $0$, $3$, $AB$ $+$ $A$ $=$ $B$ $+$ $2E$, 则与矩阵 $B^{-1} + E$ 相似的对角矩阵可以是 ($\quad$)

难度评级：

二、解析

方法一：先求出 $B^{-1}$ 的特征值

首先：

$$
AB + A = B + 2E \Rightarrow
$$

$$
AB + A – 2E = B \Rightarrow \text{ 等式两端同时除以 } B \Rightarrow
$$

$$
A + A B^{-1} – 2 B^{-1} = E \Rightarrow
$$

$$
A + (A – 2E) \textcolor{springgreen}{ B^{-1} } = E \Rightarrow
$$

$$
(A – 2E) \textcolor{springgreen}{ B^{-1} } = E – A \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{springgreen}{ B^{-1} } = (E – A) (A – 2E)^{-1}
$$

接着，由 $A$ 的特征值分别为 $-1, 0, 3$ 可知，$E-A$ 和 $A-2E$ 的特征值分别为：

$$
\textcolor{springgreen}{
E-A \Rightarrow \begin{cases}
1 – (-1) = 2 \\
1 – 0 = 1 \\
1 – 3 = -2
\end{cases} \tag{1}
}
$$

$$
A-2E \Rightarrow \begin{cases}
-1 – 2 = -3 \\
0 – 2 = -2 \\
3 – 2 = 1
\end{cases}
$$

由于矩阵与其逆矩阵对应的特征值相乘等于 $1$, 因此，矩阵 $(A – 2E)^{-1}$ 的特征值为：

$$
\textcolor{springgreen}{
(A – 2E)^{-1} \Rightarrow \begin{cases}
– \frac{1}{3} \\
– \frac{1}{2} \\
1
\end{cases} \tag{2}
}
$$

进而由 $\textcolor{springgreen}{ B^{-1} }$ $=$ $(E – A) (A – 2E)^{-1}$ 可知，$B^{-1}$ 的特征值等于 $(1)$ 式和 $(2)$ 式对应的特征值之积：

$$
B^{-1} \Rightarrow \begin{cases}
2 \times (- \frac{1}{3}) = – \frac{2}{3} \\
1 \times (- \frac{1}{2}) = – \frac{1}{2} \\
-2 \times 1 = – 2
\end{cases}
$$

于是可知，矩阵 $B^{-1} + E$ 的特征值为：

$$
B^{-1} + E \Rightarrow \begin{cases}
– \frac{2}{3} + 1 = \frac{1}{3} \\
– \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2} \\
– 2 + 1 = -1
\end{cases}
$$

又由于相似的矩阵具有相同的特征值，且矩阵 $B^{-1} + E$ 的 $3$ 个特征值各不相同，因此，矩阵 $\begin{pmatrix} \frac{1}{3} & & \\ & \frac{1}{2} & \\ & & -1 \end{pmatrix}$ 就相当于对矩阵 $B^{-1} + E$ 进行相似对角化之后得到的对角矩阵，因此，下面的矩阵一定是与矩阵 $B^{-1} + E$ 相似的对角矩阵之一：

$$
\textcolor{springgreen}{
\begin{pmatrix} \frac{1}{3} & & \\ & \frac{1}{2} & \\ & & -1 \end{pmatrix}
}
$$

方法二：先求出 $B + E$ 的特征值

首先：

$$
AB + A = B + 2E \Rightarrow
$$

$$
AB + A – B – E = E \tag{1} \Rightarrow
$$

$$
(A – E) (B + E) = E \tag{2}
$$

由 $(1)$ 式得到 $(2)$ 式的过程可以通过观察法，或者长除法完成。

于是：

$$
B + E = (A – E)^{-1}
$$

又由 $A$ 的特征值分别为 $-1, 0, 3$ 可知，$A – E$ 的特征值为：

$$
\begin{aligned}
– & 2 \\
– & 1 \\
& 2
\end{aligned}
$$

进而可知，$(A – E)^{-1}$ 的特征值，也就是 $B + E$ 的特征值为：

$$
\begin{aligned}
– & \frac{1}{2} \\
– & 1 \\
& \frac{1}{2}
\end{aligned}
$$

于是可知，$B$ 的特征值为：

$$
\begin{aligned}
– & \frac{3}{2} \\
– & 2 \\
– & \frac{1}{2}
\end{aligned}
$$

$B^{-1}$ 的特征值为：

$$
\begin{aligned}
– & \frac{2}{3} \\
– & \frac{1}{2} \\
– & 2
\end{aligned}
$$

$B^{-1} + E$ 的特征值为：

$$
\begin{aligned}
& \frac{1}{3} \\
& \frac{1}{2} \\
– & 1
\end{aligned}
$$

因此，同样根据方法一中的分析可知，题目要求解的对角矩阵为：

$$
\textcolor{springgreen}{
\begin{bmatrix}
\frac{1}{3} & & \\
& \frac{1}{2} & \\
& & -1
\end{bmatrix}
}
$$

---