一、题目
已知，$A$ 是 $n$ 阶正定矩阵，请证明其伴随矩阵 $A^{*}$ 也是正定矩阵。
难度评级：
二、解析 
由 $A$ 是正定矩阵，我们可以得出如下结论：
- $A^{\top} = A$
- $A$ 可逆，即 $|A| > 0$
- $A$ 的特征值全都大于零
接下来是具体的证明方法：
1. 特征值证明法
本方法用到的性质：
$n$ 阶 矩阵 $A$ 为正定矩阵 $\Leftrightarrow$ $A$ 的 $n$ 个特征值全部大于零
由于：
$$
A^{*} = |A| A^{-1}
$$
因此，若 $A$ 的特征值为：
$$
\begin{cases}
\lambda_{1} > 0 \\
\lambda_{2} > 0 \\
\vdots \\
\lambda_{n} > 0
\end{cases}
$$
则一定有 $A^{*}$ 的特征值为：
$$
\begin{cases}
\frac{|A|}{\lambda_{1}} > 0 \\
\frac{|A|}{\lambda_{2}} > 0 \\
\vdots \\
\frac{|A|}{\lambda_{n}} > 0
\end{cases}
$$
于是可知，矩阵 $A^{*}$ 也是正定矩阵。
2. 矩阵拆分证明法
本方法用到的性质：
$n$ 阶 矩阵 $A$ 为正定矩阵 $\Leftrightarrow$ 存在可逆矩阵 $C$, 使得 $A = C^{\top} C$
由于 $A$ 对称且可逆，因此，一定存在可逆矩阵 $C$, 使得：
$$
A = C^{\top} C
$$
因此：
$$
\begin{aligned}
A^{*} & =|A| A^{-1} \\
& = |A| (C^{\top} C) ^{-1} \\
& = |A| C^{-1} (C^{\top})^{-1} \\
& = [\sqrt{|A|} C^{-1}] \cdot [ \sqrt{|A|} (C^{-1})^{\top} ] \\
& = [\sqrt{|A|} C^{-1}] \cdot [\sqrt{|A|} C^{-1}]^{\top}
\end{aligned}
$$
注意：
1. $(A^{\top})^{-1}$ $=$ $(A^{\top})^{-1}$
2. $(|A|)^{\top}$ $=$ $|A|$
3. $(A^{\top})^{\top}$ $=$ $A$
由于 $\sqrt{|A|} C^{-1}$ 也是可逆矩阵，若令 $D^{\top}$ $=$ $\sqrt{|A|} C^{-1}$, 则：
$$
A^{*} = D^{\top} D
$$
因此，$A^{*}$ 也是正定矩阵。
3. 定义证明法
本方法用到的性质：
$n$ 阶 矩阵 $A$ 为正定矩阵 $\Leftrightarrow$ 对任意非零向量 $x \neq 0$, 有 $x^{\top} A x > 0$
已知有任意非零向量 $x \neq 0$, 则：
$$
\begin{aligned}
x^{\top} A^{*} x & = x^{\top} |A| A^{-1} x \\
& = |A| x^{\top} \textcolor{orangered}{ A^{-1} } x \\
& = |A| x^{\top} \textcolor{orangered}{ A^{-1} A A^{-1} } x \\
& = |A| (A^{-1} x)^{\top} A (A^{-1} x)
\end{aligned}
$$
注意：
若 $A$ 为正定矩阵，则 $A^{-1}$ 也是关于主对角线对称的对称矩阵，同时，对称矩阵与其转置矩阵相等，因此，当 $A$ 为逆矩阵的时候，有：$(A^{-1})^{\top}$ $=$ $A^{-1}$
由于 $A^{-1}$ 是正定矩阵，因此，向量 $A^{-1} x \neq 0$, 又由于 $A$ 也是正定矩阵，因此，根据正定矩阵的定义，有：
$$
(A^{-1} x)^{\top} A (A^{-1} x) > 0
$$
于是：
$$
x^{\top} A^{*} x = |A| (A^{-1} x)^{\top} A (A^{-1} x) > 0
$$
综上可知，$A^{*}$ 也是正定矩阵。
