正定矩阵的伴随矩阵一定是正定矩阵吗？

一、题目

已知，$A$ 是 $n$ 阶正定矩阵，请证明其伴随矩阵 $A^{\ast }$ 也是正定矩阵。

难度评级：

二、解析

由 $A$ 是正定矩阵，我们可以得出如下结论：

1. $A^{\mathrm{\top }}=A$
2. $A$ 可逆，即 $|A|>0$
3. $A$ 的特征值全都大于零

接下来是具体的证明方法：

1. 特征值证明法

本方法用到的性质：
$n$ 阶 矩阵 $A$ 为正定矩阵 $\iff$ $A$ 的 $n$ 个特征值全部大于零

由于：

$$A^{\ast }=|A|A^{-1}$$

因此，若 $A$ 的特征值为：

$$\{\begin{array}{l}{\lambda }_1>0\\ {\lambda }_2>0\\ ⋮\\ {\lambda }_n>0\end{array}$$

则一定有 $A^{\ast }$ 的特征值为：

$$\{\begin{array}{l}\frac{|A|}{{\lambda }_1}>0\\ \frac{|A|}{{\lambda }_2}>0\\ ⋮\\ \frac{|A|}{{\lambda }_n}>0\end{array}$$

于是可知，矩阵 $A^{\ast }$ 也是正定矩阵。

2. 矩阵拆分证明法

本方法用到的性质：
$n$ 阶 矩阵 $A$ 为正定矩阵 $\iff$ 存在可逆矩阵 $C$, 使得 $A=C^{\mathrm{\top }}C$

由于 $A$ 对称且可逆，因此，一定存在可逆矩阵 $C$, 使得：

$$A=C^{\mathrm{\top }}C$$

因此：

$$\begin{array}{rl}{A}^{\ast }& =|A|A^{-1}\\ & =|A|(C^{\mathrm{\top }}C{)}^{-1}\\ & =|A|C^{-1}(C^{\mathrm{\top }}{)}^{-1}\\ & =[\sqrt{|A|}{C}^{-1}]\cdot [\sqrt{|A|}(C^{-1}{)}^{\mathrm{\top }}]\\ & =[\sqrt{|A|}{C}^{-1}]\cdot [\sqrt{|A|}{C}^{-1}{]}^{\mathrm{\top }}\end{array}$$

注意：
1. $(A^{\mathrm{\top }}{)}^{-1}$ $=$ $(A^{\mathrm{\top }}{)}^{-1}$
2. $(|A|{)}^{\mathrm{\top }}$ $=$ $|A|$
3. $(A^{\mathrm{\top }}{)}^{\mathrm{\top }}$ $=$ $A$

由于 $\sqrt{|A|}{C}^{-1}$ 也是可逆矩阵，若令 $D^{\mathrm{\top }}$ $=$ $\sqrt{|A|}{C}^{-1}$, 则：

$$A^{\ast }=D^{\mathrm{\top }}D$$

因此，$A^{\ast }$ 也是正定矩阵。

3. 定义证明法

本方法用到的性质：
$n$ 阶 矩阵 $A$ 为正定矩阵 $\iff$ 对任意非零向量 $x\ne 0$, 有 $x^{\mathrm{\top }}Ax>0$

已知有任意非零向量 $x\ne 0$, 则：

$$\begin{array}{rl}{x}^{\mathrm{\top }}{A}^{\ast }x& =x^{\mathrm{\top }}|A|A^{-1}x\\ & =|A|x^{\mathrm{\top }}{A}^{-1}x\\ & =|A|x^{\mathrm{\top }}{A}^{-1}A{A}^{-1}x\\ & =|A|(A^{-1}x{)}^{\mathrm{\top }}A(A^{-1}x)\end{array}$$

注意：
若 $A$ 为正定矩阵，则 $A^{-1}$ 也是关于主对角线对称的对称矩阵，同时，对称矩阵与其转置矩阵相等，因此，当 $A$ 为逆矩阵的时候，有：$(A^{-1}{)}^{\mathrm{\top }}$ $=$ $A^{-1}$

由于 $A^{-1}$ 是正定矩阵，因此，向量 $A^{-1}x\ne 0$, 又由于 $A$ 也是正定矩阵，因此，根据正定矩阵的定义，有：

$$(A^{-1}x{)}^{\mathrm{\top }}A(A^{-1}x)>0$$

于是：

$$x^{\mathrm{\top }}{A}^{\ast }x=|A|(A^{-1}x{)}^{\mathrm{\top }}A(A^{-1}x)>0$$

综上可知，$A^{\ast }$ 也是正定矩阵。

拓展资料

1. 关于正定矩阵及其衍生矩阵的两条重要结论