2023年考研数二第05题解析：参数方程求导、导数存在性定理

一、题目

设函数 $y=f(x)$ 由 $\{\begin{array}{l}x=2t+|t|\\ y=|t|\sin t\end{array}$ 确定, 则 ( )

(A) $f(x)$ 连续, $f^{\prime }(0)$ 不存在

(B) $f^{\prime }(0)$ 不存在, $f(x)$ 在 $x=0$ 处不连续

(C) $f^{\prime }(x)$ 连续, $f^{\prime \prime }(0)$ 不存在

(D) $f^{\prime \prime }(0)$ 存在, $f^{\prime \prime }(x)$ 在 $x=0$ 处不连续

难度评级：

二、解析

解法一

当 $t>0$ 时：

$$\{\begin{array}{l}x=3t\\ y=t\sin t\end{array}\Rightarrow$$

$$\{\begin{array}{l}t=\frac{x}{3}\\ y=t\sin t\end{array}\Rightarrow$$

$$y=\frac{x}{3}\sin \frac{x}{3}$$

当 $t<0$ 时：

$$\{\begin{array}{l}x=t\\ y=-t\sin t\end{array}\Rightarrow$$

$$y=-x\sin x$$

当 $x=0$ 时：

$$y=\frac{x}{3}\sin \frac{x}{3}\to y(0^{+})=0$$

$$y=-x\sin x\to y(0^{-})=0$$

$$y(0)=0$$

于是可知，函数 $y=f(x)$ 连续。

接着，求一阶导：

$$y=\frac{x}{3}\sin \frac{x}{3}\Rightarrow \text{ 求导 }\Rightarrow$$

$$y^{\prime }=\frac{1}{3}\sin \frac{x}{3}+\frac{x}{9}\cos \frac{x}{3}\Rightarrow$$

$$y^{\prime }(0^{+})=f^{\prime }(0^{+})=0$$

继续：

$$y=-x\sin x\Rightarrow \text{ 求导 }\Rightarrow$$

$$y^{\prime }=–(\sin x+x\cos x)\Rightarrow$$

$$y^{\prime }(0^{-})=f^{\prime }(0^{-})=0$$

由左导数等于右导数可知，$f^{\prime }(0)$ 存在且连续。

接着，求二阶导：

$$y^{\prime }=\frac{1}{3}\sin \frac{x}{3}+\frac{x}{9}\cos \frac{x}{3}\Rightarrow \text{ 求导 }\Rightarrow$$

$$y^{\prime \prime }=\frac{1}{9}\cos \frac{x}{3}+\frac{1}{9}\cos \frac{x}{3}–\frac{x}{27}\sin \frac{x}{3}\Rightarrow$$

$$y^{\prime \prime }(0^{+})=f^{\prime \prime }(0^{+})=\frac{2}{9}$$

继续：

$$y^{\prime }=–(\sin x+x\cos x)\Rightarrow \text{ 求导 }\Rightarrow$$

$$y^{\prime \prime }=–(\cos x+\cos x–x\sin x)\Rightarrow$$

$$y^{\prime \prime }(0^{-})=f^{\prime \prime }(0^{-})=-2$$

因此，如果将 $y=f(x)$ 的二阶导数作为一个分段函数来看，二阶导函数是存在，但在 $x=0$ 处，该二阶导函数不连续。但是本题的 (D) 选项不正确，因为 $f^{\prime \prime }(0^{+})\ne f^{\prime \prime }(0^{-})$, 所以 $f^{\prime \prime }(0)$ 不存在，即 (C) 选项正确。

解法二

当 $t>0$ 时：

$$\{\begin{array}{l}x=3t\\ y=t\sin t\end{array}\Rightarrow$$

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}=\frac{\sin t+t\cos t}{3}\Rightarrow$$

$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{3}(2\cos t–t\sin t)\cdot \frac{1}{3}$$

当 $t<0$ 时：

$$\{\begin{array}{l}x=t\\ y=-t\sin t\end{array}\Rightarrow$$

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}=–\sin t–t\cos t\Rightarrow$$

$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}=-\cos t–\cos t+t\sin t$$

又因为，$x\to 0$ 其实就相当于 $t\to 0$, 利用上面得到的式子，验证可知，本题正确选项为 C.

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