涉及抽象函数的题目可以优先尝试举特例

一、题目

若 ${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}f(x)\mathrm{d}x$ 收玫, 又 $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}xf(x)=l$, 则

(A) $l>0$

(B) $l=0$

(C) $l<0$

(D) 以上均不对

难度评级：

二、解析

若令 $f(x)=\frac{1}{x^2}$, 则 ${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{x^2}\mathrm{d}x$ 收敛，于是：

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}xf(x)=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x}=0=l$$

注意：

$${\int }_a^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{x}\mathrm{d}x\text{ 发散 }{\int }_a^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{\sqrt{x}}\mathrm{d}x\text{ 也发散 }$$

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