你会用一阶导还是二阶导判断极值点？

一、题目

已知 $f(x)=x \sin x+\cos x$, 下列命题中正确的是：

(A) $f(0)$ 是极大值, $f\left(\frac{\pi}{2}\right)$ 是极小值

(B) $f(0)$ 是极小值, $f\left(\frac{\pi}{2}\right)$ 是极大值

(C) $f(0), f\left(\frac{\pi}{2}\right)$ 均是极大值

(D) $f(0), f\left(\frac{\pi}{2}\right)$ 均是极小值

难度评级：

二、解析

判断极值点可以用一阶导，但需要对比一阶导目标点左右两侧值得正负才可以确定是极大值还是极小值。因此，在这里，我们用二阶导对极值点进行判断：

$$
f^{\prime}(x)=\sin x+x \cos x-\sin x \Rightarrow
$$

$$
f^{\prime \prime}(x)=\cos x+\cos x-x \sin x-\cos x \Rightarrow
$$

$$
f^{\prime \prime}(x)=\cos x-x \sin x
$$

$$
x=0 \Rightarrow f^{\prime \prime}(x)=1>0
$$

$$
x=\frac{\pi}{2} \Rightarrow f^{\prime \prime}(x)=\frac{-\pi}{2}<0
$$

综上可知，本题应选 B.

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