秩为 $1$ 的矩阵的特征值可能都等于零

一、题目

已知 $A$ 是三阶矩阵, $r (A) = 1$ , 则 $λ = 0$

(A) 必是 $A$ 的二重特征值

(B) 至少是 $A$ 的二重特征值

(D) 一重、二重、三重特征值都有可能

难度评级：

由于：

$(λ E - A) x = 0 \Rightarrow$

$(0 E - A) x = 0$

又：

$r (A) = 1 \Rightarrow r (0 E - A) = 1$

因此，当 $λ = 0$ 时，即方程组 $(0 E - A) x = 0$ 至少有两个线性无关的特征向量，此时， $λ = 0$ 是二重特征值。

此时：

$A = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}]$

又因为当 $r (A) = 0$ 时存在如下情况：

$A = [\begin{matrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}]$

因此， $λ = 0$ 也可能是三重特征值。

综上可知，B 选项正确。

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