系数矩阵不满秩的齐次线性方程组有无穷多解

一、题目

已知齐次线性方程组 $\{\begin{array}{r}{x}_1+2x_2-2x_3=0\\ 2x_1-x_2+a{x}_3=0\\ 3x_1+x_2-x_3=0\end{array}$, 有无穷多解, 则 $a=?$

难度评级：

二、解析

$$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& -2\\ 2& -1& a\\ 3& 1& -1\end{array}\right]\Rightarrow$$

化简的时候，保持第一行的第一个元素不为零，优先将其他行的第一个元素化为零，之后再尝试把第二行的第二个元素化为零，以此类推，直到最后一行：

$$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& -2\\ 0& -5& a+4\\ 0& -5& 5\end{array}\right]\Rightarrow$$

$$a+4=5\Rightarrow a=1$$

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