非自由未知数的选取并不一定是固定的

一、题目

已知，某五元齐次线性方程组经高斯消元，系数矩阵化为了 $\left[\begin{array}{ccccc}1& -2& 2& 3& -4\\ 0& 0& 1& 5& -2\\ 0& 0& 0& 2& 0\end{array}\right]$, 则选取的自由变量不能是以下哪个组合？

(A) $x_2,x_5$

(B) $x_1,x_5$

(C) $x_3,x_5$

(D) $x_2,x_3$

难度评级：

二、解析

注意：
1. 自由变量就是可以自由赋值的变量；
2. 非自由未知数的选取并不一定是固定的。

一般来说，根据“阶梯规律”，我们可以选取 ${}_1,x_3,x_4$ 作为非自由未知数，因此，对应的自由未知数就是 $x_2,x_5$.

但是，$x_2$ 可以“平替”$x_1$, 因此，用 $x_1,x_5$ 做自由未知数也可以；

同样，$x_3$ 可以“平替”$x_5$, 因此，用 $x_2,x_3$ 做自由未知数也可以。

非自由未知数就像阻挡入侵的“战士”，而自由未知数就是被这些“战士”保护的平民——每一个未知数的位置都需要一位“战士”来守卫，其他在这个位置上的人就可以作为自由的平民——但是，如果一个位置只有自由的平民，那就没办法守卫了，会导致对应的未知数无法求解，因此，$x_3,x_5$ 就不能全都是自由未知数。

综上可知，只有 C 选项中的 $x_3,x_5$ 不可以作为自由未知数的组合。

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