非自由未知数的选取并不一定是固定的

一、题目

已知，某五元齐次线性方程组经高斯消元，系数矩阵化为了 $\left[\begin{array}{ccccc}1 & -2 & 2 & 3 & -4 \\ 0 & 0 & 1 & 5 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 0\end{array}\right]$, 则选取的自由变量不能是以下哪个组合？

(A) $x_{2}, x_{5}$

(B) $x_{1}, x_{5}$

(C) $x_{3}, x_{5}$

(D) $x_{2}, x_{3}$

难度评级：

二、解析

注意：
1. 自由变量就是可以自由赋值的变量；
2. 非自由未知数的选取并不一定是固定的。

一般来说，根据“阶梯规律”，我们可以选取 $_{1}, x_{3}, x_{4}$ 作为非自由未知数，因此，对应的自由未知数就是 $x_{2}, x_{5}$.

但是，$x_{2}$ 可以“平替”$x_{1}$, 因此，用 $x_{1}, x_{5}$ 做自由未知数也可以；

同样，$x_{3}$ 可以“平替”$x_{5}$, 因此，用 $x_{2}, x_{3}$ 做自由未知数也可以。

非自由未知数就像阻挡入侵的“战士”，而自由未知数就是被这些“战士”保护的平民——每一个未知数的位置都需要一位“战士”来守卫，其他在这个位置上的人就可以作为自由的平民——但是，如果一个位置只有自由的平民，那就没办法守卫了，会导致对应的未知数无法求解，因此，$x_{3}, x_{5}$ 就不能全都是自由未知数。

综上可知，只有 C 选项中的 $x_{3}, x_{5}$ 不可以作为自由未知数的组合。

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