一个向量和一个向量组无关，则这个向量和这个向量组中的任意个向量都无关

一、题目

已知，向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性无关,向量 $\boldsymbol{\beta}_{1}$ 可由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示, 向量 $\boldsymbol{\beta}_{2}$ 不能由 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性表示，则以下说法正确的是哪个？

(A) $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{1}$ 线性无关

(B) $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{2}$ 线性无关

(C) $\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}$ 线性相关

(D) $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\beta}_{1}+\boldsymbol{\beta}_{2}$ 线性相关

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二、解析

所谓的“一个向量和一个向量组无关，则这个向量和这个向量组中的任意个向量都无关”其实就是《向量组中向量多的无关则向量少的一定无关》这一原理。

因此，由于向量组 $\boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}$, $\boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性无关，因此，向量个数更少的向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{2}$ 一定也是线性无关的。于是可知，B 选项正确。

在 A 选项中，由于向量组 $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 线性相关，因此，无法判断向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{1}$ 是否线性无关。

C 选项中，如果 $\beta_{1}$ 仅仅与 $\alpha_{1}$ 线性相关，那么，没有 $\alpha_{1}$ 的向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}$ 就是线性无关的。

D 选项中，假如 $\beta_{1}$ 是零向量，那么其与任意向量都是线性相关的，但是，由于此时 $\beta_{1} + \beta_{2} = \beta_{2}$, 因此 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\beta}_{1}+\boldsymbol{\beta}_{2}$ 就是线性无关的。

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