右端项为三角函数的二阶微分方程的特解你会求解吗？

一、题目

难度评级：

二、解析

§2.1 基础回顾

我们知道，对于形如 $y^{ \prime \prime }$ $+$ $p y^{ \prime }$ $+$ $q y$ $=$ $f (x)$ 的二阶常系数非齐次微分方程，如果 $P_{n} (x)$ 是一个 $n$ 词多项式，且：

$$
f (x) = P_{n} (x) \textcolor{magenta}{ \mathrm{e}^{\alpha x} } \textcolor{orange}{ \sin \beta x }
$$

或者：

$$
f (x) = P_{n} (x) \textcolor{magenta}{ \mathrm{e}^{\alpha x} } \textcolor{orange}{ \cos \beta x }
$$

则该二阶微分方程的特解 $y ^{*}$ 可以设为：

$$
y^{*} (x) = x^{\textcolor{white}{\colorbox{green}{ k }} } \textcolor{magenta}{ \mathrm{e}^{ \alpha x } } \left[ \textcolor{springgreen}{ Q_{n} (x) } \textcolor{orange}{ \cos \beta x } + \textcolor{springgreen}{ W_{n} (x) } \textcolor{orange}{ \sin \beta x } \right]
$$

其中：
[*]. 若 $\textcolor{magenta}{ \alpha } \pm i \textcolor{orange}{ \beta }$ 不是该微分方程的特征根，则 $\textcolor{white}{\colorbox{green}{ k = 0 }}$;
[**]. 若 $\textcolor{magenta}{ \alpha } \pm i \textcolor{orange}{ \beta }$ 是该微分方程的特征根，则 $\textcolor{white}{\colorbox{green}{ k = 1 }}$;
[***]. $\textcolor{springgreen}{ Q_{n}\left(x\right) }$ 和 $\textcolor{springgreen}{ W_{n}\left(x\right) }$ 为 $n$ 次多项式的一般形式。

§2.2 解题过程

从上面的基础知识我们知道，要设微分方程的特解，就要先求出来该微分方程对应的特征值，于是：

$$
\require{extpfeil}\Newextarrow{\xRightarrow}{5,5}{0x21D2}
\begin{aligned}
& y^{ \prime \prime } + b^{2} y = \sin x \\ \\
\Rightarrow & \lambda^{2} + b^{2} = 0 \\ \\
\xRightarrow{\mathrm{i} ^{2} = -1 \ } & \begin{cases}
\lambda_{1} = + b \mathrm{i} \\
\lambda_{2} = – b \mathrm{i}
\end{cases} \\ \\
\Rightarrow & \begin{cases}
\lambda_{1} = 0 + b \mathrm{i} \\
\lambda_{2} = 0 – b \mathrm{i}
\end{cases}
\end{aligned}
$$

由于：

$$
\begin{aligned}
y ^ { \prime \prime } + b ^ { 2 } y & = \sin x \\ \\
\Rightarrow y ^ { \prime \prime } + b ^ { 2 } y & = \textcolor{springgreen}{ 1 } \cdot \textcolor{magenta}{\mathrm{e} ^{0x}} \cdot \textcolor{orange}{ \sin 1 x } \\ \\
\Rightarrow y ^ { \prime \prime } + b ^ { 2 } y & = \textcolor{springgreen}{ P_{n} (x) } \cdot \textcolor{magenta}{ \mathrm{e}^{\alpha x} } \textcolor{orange}{ \sin \beta x } \\ \\
& \Rightarrow \begin{cases}
\alpha = 0 \\
\beta = 1
\end{cases}
\end{aligned}
$$

于是可知，当特征值中的 $b$ 等于 $1$ 的时候，特征值 $0 \pm \mathrm{i}$ 刚好等于 $\alpha \pm \mathrm{i} \beta$, 所以，我们需要分情况讨论 $b$ 的取值：

[01]. 当 $b = 1$ 时

特解可以设为：

$$
\textcolor{orange}{
y^{*} = A x \cos x + B x \sin x
} \tag{1}
$$

将上面的 $(1)$ 式代入原微分方程 $y ^ { \prime \prime }$ $+$ $b ^ { 2 } y$ $=$ $\sin x$, 计算步骤如下：

$$
\begin{aligned}
& \begin{cases}
\textcolor{black}{\colorbox{orange}{A}} = A x \cos x \\
\textcolor{black}{\colorbox{orange}{B}} = Bx \sin x
\end{cases} \\ \\
\Rightarrow & \begin{cases}
\left( \textcolor{black}{\colorbox{orange}{A}} \right) ^{\prime} = A \cos x – A x \sin x \\
\left( \textcolor{black}{\colorbox{orange}{B}} \right) ^{\prime} = B \sin x + B x \cos x
\end{cases} \\ \\
\Rightarrow & \begin{cases}
\left( \textcolor{black}{\colorbox{orange}{A}} \right) ^{\prime \prime} = -2A \sin x – A x \cos x \\
\left( \textcolor{black}{\colorbox{orange}{B}} \right) ^{\prime \prime} = 2B \cos x – B x \sin x
\end{cases} \\ \\
\Rightarrow & y ^ { \prime \prime } + b ^ { 2 } y = \sin x \\ \\
\Rightarrow & \left( \textcolor{black}{\colorbox{orange}{A}} \right) ^{\prime \prime} + \left( \textcolor{black}{\colorbox{orange}{B}} \right) ^{\prime \prime} + b ^{2} \left( \textcolor{black}{\colorbox{orange}{A}} + \textcolor{black}{\colorbox{orange}{B}} \right) = \sin x \\ \\
\xRightarrow{b = 1 \ } & \left( \textcolor{black}{\colorbox{orange}{A}} \right) ^{\prime \prime} + \left( \textcolor{black}{\colorbox{orange}{B}} \right) ^{\prime \prime} + \left( \textcolor{black}{\colorbox{orange}{A}} + \textcolor{black}{\colorbox{orange}{B}} \right) = \sin x \\ \\
\Rightarrow & -2A \sin x + 2B \cos x = \sin x \\ \\
\Rightarrow & \begin{cases}
-2A = 1 \\
2B = 0
\end{cases} \\ \\
\Rightarrow & \textcolor{springgreen}{ \begin{cases}
A = – \frac { 1 } { 2 } \\
B = 0
\end{cases} }
\end{aligned}
$$

于是，此时微分方程的特解为：

$$
\textcolor{springgreen}{
\boldsymbol{
y = – \frac{1}{2} \textcolor{white}{\colorbox{green}{x}} \cos x
}
}
$$

[02]. 当 $b \neq 1$ 时

特解可以设为：

$$
\textcolor{orange}{
y^{*} = C \cos x + D \sin x
} \tag{2}
$$

将上面的 $(2)$ 式代入原微分方程 $y ^ { \prime \prime }$ $+$ $b ^ { 2 } y$ $=$ $\sin x$, 计算步骤如下：

$$
\begin{aligned}
& y^{ \prime \prime } + b^{ 2 } y = \sin x \\ \\
\Rightarrow & -C \cos x – D \sin x + b ^{2} \left( C \cos x + D \sin x \right) = \sin x \\ \\
\Rightarrow & \begin{cases}
-D + b ^{2} D = 1 \\
-C + b ^{2} C = 0
\end{cases} \\ \\
\Rightarrow & \textcolor{springgreen}{ \begin{cases}
C = 0 \\
D = \frac { 1 } { b ^ { 2 } – 1 }
\end{cases} } \\ \\
\end{aligned}
$$

于是，此时微分方程的特解为：

$$
\textcolor{springgreen}{
\boldsymbol{
y = \frac{1} { a^{2} – 1 } \sin x
}
}
$$

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