包含无定义点的积分也可能是定积分

一、题目

已知 $n,m$ 为正整数，则关于 $I\mathrm{\_}n,m=\int \mathrm{\_}{0}^1{x}^n{\ln }^{m}x\mathrm{d}x$, 以下说法正确的是哪个？

(A) 是定积分且值为 $\frac{(-1{)}^{n}n!}{(n+1{)}^m}$

(B) 是定积分且值为 $\frac{(-1{)}^{m}m!}{(n+1{)}^{m+1}}$

(C) 是反常积分且发散

(D) 是反常积分且值为 $\frac{(-1{)}^{m}m!}{(n+1{)}^{m+1}}$

难度评级：

二、解析

虽然 $x^n{\ln }^{m}x$ 在 $x=0$ 处无定义，但是，由《无论 x 和 ln x 各自的几次方相乘，结果一定得零》可知：

$$\underset{x\to 0^{+}}{lim}{x}^n{\ln }^{m}x=0$$

因此，我们可以补充定义 $f(0)=0$, 于是，${\int }_0^1{x}^n{\ln }^{m}x\mathrm{d}x$ 就成了一个定积分而不是反常积分（改变或者定义一个点的函数值不会改变整个区间上的定积分值）。

进而：

$${\int }_0^1{x}^n{\ln }^{m}x\mathrm{d}x=$$

$$\frac{1}{n+1}{\int }_0^1{\ln }^{m}x\mathrm{d}\left(x^{n+1}\right)=$$

$${\frac{1}{n+1}{x}^{n+1}\cdot {\ln }^{m}x|}_0^1-\frac{1}{n+1}{\int }_0^1{x}^{n+1}\cdot m{\ln }^{n-1}x\cdot \frac{1}{x}\mathrm{d}x=$$

$$-\frac{m}{n+1}{\int }_0^1{x}^n\cdot {\ln }^{m-1}x\mathrm{d}x=$$

$$-\frac{m}{n+1}\cdot I_{n,m-1}=$$

由规律可知：

$$(-\frac{m}{n+1})\cdot (-\frac{m-1}{n+1})\cdot I_{n,m-2}=$$

$$(-\frac{m}{n+1})\cdot (-\frac{m-1}{n+1})\cdot (-\frac{m-2}{n+1})\cdots (-\frac{1}{n+1})\cdot I_{n,0}=$$

$$(-1{)}^m\cdot \frac{m!}{(n+1{)}^m}\cdot I_{n,0}$$

又：

$$I_{n,0}={\int }_0^1{x}^n\mathrm{d}x=\frac{1}{n+1}$$

因此：

$$I_{n,m}=(-1{)}^m\cdot \frac{m!}{(n+1{)}^{m+1}}$$

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