什么情况下牛顿-莱布尼兹公式（定积分）不起作用？

一、题目

下面四个式子的解法都是错误的，请分析错误的原因并给出正确的解法：

(1) $\int_{0}^{\pi} \sqrt{\sin ^{3} x-\sin ^{5} x} \mathrm{~d} x$ $=$ $\int_{0}^{\pi} \sin ^{\frac{3}{2}} x \cos x \mathrm{~d} x=\left.\frac{2}{5} \sin ^{\frac{5}{2}} x\right|_{0} ^{\pi}=0$

(2) $\int_{-1}^{1} \frac{\mathrm{d} x}{x}$ $=$ $\left.\ln |x|\right|_{-1} ^{1}=0$

(3) $\int_{0}^{\pi} \frac{\sec ^{2} x}{2+\tan ^{2} x} \mathrm{~d} x$ $=$ $\left.\frac{1}{\sqrt{2}} \arctan \frac{\tan x}{\sqrt{2}}\right|_{0} ^{\pi}=0$

(4) $\int_{-1}^{1} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(\arctan \frac{1}{x}\right) \mathrm{d} x$ $=$ $\left.\arctan \frac{1}{x}\right|_{-1} ^{1}=\frac{\pi}{2}$

难度评级：

二、解析

(1)

错误原因：去根号的时候忘记考虑加绝对值

正确解法：

$$
\int_{0}^{\pi} \sqrt{\sin ^{3} x-\sin ^{5} x} \mathrm{~ d} x=\int_{0}^{\pi} \sqrt{\sin ^{3} x\left(1-\sin ^{2} x\right)} \mathrm{~ d} x =
$$

$$
\int_{0}^{\pi} \sqrt{\sin ^{3} x \cos ^{2} x} \mathrm{~ d} x=\int_{0}^{\pi} \sin ^{\frac{3}{2}} x|\cos x| \mathrm{~ d} x=
$$

$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{\frac{3}{2}} x \cos x \mathrm{~ d} x – \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sin ^{\frac{3}{2}} x \cos x \mathrm{~ d} x=
$$

$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{\frac{3}{2}} x \mathrm{~ d} (\sin x)-\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \sin ^{\frac{3}{2}} x \mathrm{~ d} (\sin x)=
$$

$$
\left.\frac{2}{5} \sin ^{\frac{5}{2}} x\right|_{0} ^{\frac{\pi}{2}}-\left.\frac{2}{5} \sin ^{\frac{5}{2}} x\right|_{\frac{\pi}{2}} ^{\pi}=\frac{2}{5}+\frac{2}{5}=\frac{4}{5}
$$

(2)

$y = \frac{1}{x}$ 在 $[-1, 1]$ 上是无界函数，而无界函数没有定积分。同时，即使将 $\int_{-1}^{1} \frac{\mathrm{d} x}{x}$ 看作反常积分，也是发散的，没有具体值。

(3)

错误原因：$x = \frac{\pi}{2}$ 是 $y = \tan x$ 的无穷间断点，在此处不能积分，需要分段计算。

解法一：

$$
\int_{0}^{\pi} \frac{\sec ^{2} x}{2+\tan ^{2} x} \mathrm{~ d} x=
$$

$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sec ^{2} x}{2+\tan ^{2} x} \mathrm{~ d} x + \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \frac{\sec ^{2} x}{2+\tan ^{2} x} \mathrm{~ d} x \Rightarrow
$$

又：

$$
\sec ^{2} x = \frac{1}{\cos ^{2} x} \Rightarrow
$$

于是：

$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2+\tan ^{2} x} \mathrm{~ d} (\tan x)+\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \frac{1}{2+\tan ^{2} x} \mathrm{~ d} (\tan x)=
$$

$$
\sqrt{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{ \mathrm{~ d} \left(\frac{\tan x}{\sqrt{2}}\right) }{2\left[1+\left(\frac{\tan x}{\sqrt{2}}\right)^{2}\right]} +\sqrt{2} \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \frac{ \mathrm{~ d} \left(\frac{\tan x}{\sqrt{2}}\right) }{2\left[1+\left(\frac{\tan x}{\sqrt{2}}\right)^{2}\right]} =
$$

$$
\left.\frac{1}{\sqrt{2}} \arctan \frac{\tan x}{\sqrt{2}}\right|_{0} ^{\frac{\pi^{-}}{2}}+\left.\frac{1}{\sqrt{2}} \arctan \frac{\tan x}{\sqrt{2}}\right|_{\frac{\pi^{+}}{2}} ^{\pi}=
$$

$$
\frac{1}{\sqrt{2}}[\arctan (+\infty)-\arctan (-\infty)]=
$$

$$
\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{\pi}{2}-\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right)=\frac{\pi}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2} \pi
$$

解法二：

$$
\int_{0}^{\pi} \frac{\sec ^{2} x}{2+\tan ^{2} x} \mathrm{~ d} x=\int_{0}^{\pi} \frac{\frac{1}{\cos ^{2} x}}{2+\tan ^{2} x} \mathrm{~ d} x=
$$

$$
\int_{0}^{\pi} \frac{1}{2+\tan ^{2} x} \mathrm{~ d} (\tan x) \Rightarrow
$$

周期 $T=\pi$, 且为偶函数，因此：

$$
\int_{0}^{\pi} \frac{1}{2+\tan ^{2} x} \mathrm{~ d} (\tan x)=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2+\tan ^{2} x} \mathrm{~ d} (\tan x)=
$$

$$
2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2+\tan ^{2} x} \mathrm{~ d} (\tan x)=
$$

$$
\sqrt{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+\left(\frac{\tan x}{\sqrt{2}}\right)^{2}} \mathrm{~ d} \left(\frac{\tan x}{\sqrt{2}}\right) =
$$

$$
\left.\sqrt{2} \cdot \arctan \frac{\tan x}{\sqrt{2}}\right|_{0} ^{\frac{\pi}{2}}=\sqrt{2} \cdot \frac{\pi}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2} \pi
$$

(4)

错误原因：$y = \arctan \frac{1}{x}$ 在 $x = 0$ 处没有定义，需要分段考虑。

正确解法：

$$
\int_{-1}^{1} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~ d} x}\left(\arctan \frac{1}{x}\right) \mathrm{~ d} x=
$$

$$
\int_{-1}^{0} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~ d} x}\left(\arctan \frac{1}{x}\right) \mathrm{~ d} x+\int_{0}^{1} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~ d} x}\left(\arctan \frac{1}{x}\right) \mathrm{~ d} x=
$$

$$
\left.\arctan \frac{1}{x}\right|_{-1} ^{0-}+\left.\arctan \frac{1}{x}\right|_{0^{+}} ^{1}=
$$

$$
[\arctan (-\infty)-\arctan (-1)] + [\arctan 1-\arctan (+\infty)] =
$$

$$
-\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{2}=\frac{-\pi}{2}
$$

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