什么情况下牛顿-莱布尼兹公式(定积分)不起作用?

一、题目题目 - 荒原之梦

下面四个式子的解法都是错误的,请分析错误的原因并给出正确的解法:

(1) 0πsin3xsin5x dx = 0πsin32xcosx dx=25sin52x|0π=0

(2) 11dxx = ln|x||11=0

(3) 0πsec2x2+tan2x dx = 12arctantanx2|0π=0

(4) 11ddx(arctan1x)dx = arctan1x|11=π2

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

(1)

错误原因:去根号的时候忘记考虑加绝对值

正确解法:

0πsin3xsin5x dx=0πsin3x(1sin2x) dx=

0πsin3xcos2x dx=0πsin32x|cosx| dx=

0π2sin32xcosx dxπ2πsin32xcosx dx=

0π2sin32x d(sinx)π2πsin32x d(sinx)=

25sin52x|0π225sin52x|π2π=25+25=45

(2)

y=1x[1,1] 上是无界函数,而无界函数没有定积分。同时,即使将 11dxx 看作反常积分,也是发散的,没有具体值。

(3)

错误原因:x=π2y=tanx 的无穷间断点,在此处不能积分,需要分段计算。

解法一:

0πsec2x2+tan2x dx=

0π2sec2x2+tan2x dx+π2πsec2x2+tan2x dx

又:

sec2x=1cos2x

于是:

0π212+tan2x d(tanx)+π2π12+tan2x d(tanx)=

20π2 d(tanx2)2[1+(tanx2)2]+2π2π d(tanx2)2[1+(tanx2)2]=

12arctantanx2|0π2+12arctantanx2|π+2π=

12[arctan(+)arctan()]=

12(π2(π2))=π2=22π

解法二:

0πsec2x2+tan2x dx=0π1cos2x2+tan2x dx=

0π12+tan2x d(tanx)

周期 T=π, 且为偶函数,因此:

0π12+tan2x d(tanx)=π2π212+tan2x d(tanx)=

20π212+tan2x d(tanx)=

20π211+(tanx2)2 d(tanx2)=

2arctantanx2|0π2=2π2=22π

(4)

错误原因:y=arctan1xx=0 处没有定义,需要分段考虑。

正确解法:

11d dx(arctan1x) dx=

10d dx(arctan1x) dx+01d dx(arctan1x) dx=

arctan1x|10+arctan1x|0+1=

[arctan()arctan(1)]+[arctan1arctan(+)]=

π2+π4+π4π2=π2


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