借助函数的单调性或者函数图像判断定积分的大小

一、题目

已知 $I_1={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x$, $I_2={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{x}{\sin x}\mathrm{d}x$, 则 $I_1$ $I_2$ 和 $1$ 的大小关系如何？

难度评级：

二、解析

$y=\sin x$ 和 $y=x$ 的函数图像如图 01 所示：

于是：

$$\frac{\sin x}{x}<1,\frac{x}{\sin x}>1\Rightarrow$$

$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x<{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{x}{\sin x}\mathrm{d}x\Rightarrow I_1<I_2$$

接着，我们需要构造基点：

$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{2}{\pi }\mathrm{d}x=1$$

于是，接下来就是要比较 $\frac{\sin x}{x}$ 与 $\frac{2}{\pi }$ 的大小（或者比较 $\frac{x}{\sin x}$ 与 $\frac{2}{\pi }$ 的大小）。

方法一

当 $x=\frac{\pi }{2}$ 时：

$$\frac{\sin x}{x}=\frac{2}{\pi }$$

于是，我们需要判断 $\frac{\sin x}{x}$ 的单调性：

$${\left(\frac{\sin x}{x}\right)}^{\prime }=\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}\Rightarrow x^2⩾0\Rightarrow$$

$$g(x)=x\cos x-\sin x\Rightarrow$$

$$g^{\prime }(x)=\cos x-x\sin x-\cos x\Rightarrow$$

$$g^{\prime }(x)=-x\sin x$$

因此，当 $x\in (0,\frac{\pi }{2})$ 时：

$$g^{\prime }(x)<0$$

又：

$$g(0)=0$$

因此，当 $x\in (0,\frac{\pi }{2})$ 时：

$$g(x)<0$$

进而：

$${\left(\frac{\sin x}{x}\right)}^{\prime }<0\Rightarrow$$

$$\frac{2}{\pi }<\frac{\sin x}{x}<1\Rightarrow$$

$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin x}{x}\mathrm{d}x>{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{2}{\pi }\mathrm{d}x\Rightarrow$$

$$I_1>1\Rightarrow$$

$$I_2>I_1>1$$

方法二

比较 $\frac{\sin x}{x}$ 和 $\frac{2}{\pi }$ 的大小其实就是比较 $\sin x$ 和 $\frac{2}{\pi }x$ 的大小。

又有 $y=\sin x$ 和 $y=\frac{2}{\pi }x$ 的函数图像：

于是可知，在区间 $(0,\frac{\pi }{2})$ 上，有：

$$\sin x>\frac{2}{\pi }x\Rightarrow$$

即：

$$\frac{\sin x}{x}>\frac{2}{\pi }\Rightarrow$$

$$I_1>1$$

于是：

$$I_2>I_1>1$$

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