借助函数的单调性或者函数图像判断定积分的大小

一、题目题目 - 荒原之梦

已知 I1=0π2sinxx dx, I2=0π2xsinx dx, 则 I1 I21 的大小关系如何?

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

y=sinxy=x 的函数图像如图 01 所示:

借助函数的单调性或者函数图像判断定积分的大小 | 荒原之梦 | 图 01.
图 01.

于是:

sinxx<1,xsinx>1

0π2sinxx dx<0π2xsinx dxI1<I2

接着,我们需要构造基点:

0π22π dx=1

于是,接下来就是要比较 sinxx2π 的大小(或者比较 xsinx2π 的大小)。

方法一

x=π2 时:

sinxx=2π

于是,我们需要判断 sinxx 的单调性:

(sinxx)=xcosxsinxx2x20

g(x)=xcosxsinx

g(x)=cosxxsinxcosx

g(x)=xsinx

因此,当 x(0,π2) 时:

g(x)<0

又:

g(0)=0

因此,当 x(0,π2) 时:

g(x)<0

进而:

(sinxx)<0

2π<sinxx<1

0π2sinxx dx>0π22π dx

I1>1

I2>I1>1

方法二

比较 sinxx2π 的大小其实就是比较 sinx2πx 的大小。

又有 y=sinxy=2πx 的函数图像:

借助函数的单调性或者函数图像判断定积分的大小 | 荒原之梦 | 图 02.
图 02.

于是可知,在区间 (0,π2) 上,有:

sinx>2πx

即:

sinxx>2π

I1>1

于是:

I2>I1>1


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